Os termos da série são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre séries infinitas, onde os termos da série são definidos de forma recursiva. Nosso objetivo é descobrir se essas séries convergem (ou seja, somam até um número finito) ou divergem (não somam). Vamos precisar entender um pouco sobre séries e como testar a convergência usando critérios específicos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) do exercício. Temos a série onde:
Primeiro, precisamos encontrar uma expressão geral para . Como os termos são definidos recursivamente, podemos tentar expressar em função de .

Passo 3

Observamos que:
Percebeu que os fatores se simplificam? Vamos generalizar isso.

Passo 4

Em geral, podemos escrever:
Para analisar a convergência da série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que se , então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular o limite:
Dividindo numerador e denominador por :
Como , segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Temos:
Primeiro, vamos tentar entender o comportamento geral dos termos . Note que oscila entre -1 e 1, então fica entre 1 e 3.

Passo 7

Vamos de novo usar o Teste da Razão:
Sabemos que é limitado, então está entre 1 e 3. Entretanto, cresce sem limite.

Passo 8

Então, o limite fica:
Porque o denominador cresce para infinito e o numerador fica limitado. Assim, .

Passo 9

Segundo o Teste da Razão, se , a série converge. Logo, a série da parte (b) converge.

Resposta

(a) A série diverge.
(b) A série converge.

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Determine nos exercícios 1-10.
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