Os termos da série sumn=1^infty an são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:
ll (a) a1=2, an+1=5 n+14 n+3 an & (b) a1=1, an+1=2+cos nraizn an

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre séries infinitas, onde os termos da série são definidos de forma recursiva. Nosso objetivo é descobrir se essas séries convergem (ou seja, somam até um número finito) ou divergem (não somam). Vamos precisar entender um pouco sobre séries e como testar a convergência usando critérios específicos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) do exercício. Temos a série sumn=1^infty an onde:
a1=2, an+1=5n+14n+3 an
Primeiro, precisamos encontrar uma expressão geral para an. Como os termos são definidos recursivamente, podemos tentar expressar an em função de a1.

Passo 3

Observamos que:
a2 = 5(1)+14(1)+3 a1 = 67 times 2 = 127
a3 = 5(2)+14(2)+3 a2 = 1111 times 127 = 127
Percebeu que os fatores se simplificam? Vamos generalizar isso.

Passo 4

Em geral, podemos escrever:
an = a1 times prodk=1^n-1 5k+14k+3
Para analisar a convergência da série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que se limn to infty | an+1an | = L, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular o limite:
L = limn to infty an+1an = limn to infty 5n+14n+3
Dividindo numerador e denominador por n:
L = limn to infty 5 + 1n4 + 3n = 5 + 04 + 0 = 54 = 1.25
Como L = 1.25 > 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Temos:
a1=1, an+1=2+cos nraizn an
Primeiro, vamos tentar entender o comportamento geral dos termos an. Note que cos n oscila entre -1 e 1, então 2 + cos n fica entre 1 e 3.

Passo 7

Vamos de novo usar o Teste da Razão:
L = limn to infty an+1an = limn to infty 2 + cos nraizn
Sabemos que cos n é limitado, então 2 + cos n está entre 1 e 3. Entretanto, raizn cresce sem limite.

Passo 8

Então, o limite fica:
L = limn to infty 2 + cos nraizn = 0
Porque o denominador cresce para infinito e o numerador fica limitado. Assim, L = 0 < 1.

Passo 9

Segundo o Teste da Razão, se L < 1, a série converge. Logo, a série da parte (b) converge.

Resposta

(a) A série diverge.
(b) A série converge.

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