Os termos da série são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre séries infinitas, onde os termos da série são definidos de forma recursiva. Nosso objetivo é descobrir se essas séries convergem (ou seja, somam até um número finito) ou divergem (não somam). Vamos precisar entender um pouco sobre séries e como testar a convergência usando critérios específicos.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a) do exercício. Temos a série onde:
Primeiro, precisamos encontrar uma expressão geral para . Como os termos são definidos recursivamente, podemos tentar expressar em função de .
Passo 3
Observamos que:
Percebeu que os fatores se simplificam? Vamos generalizar isso.
Passo 4
Em geral, podemos escrever:
Para analisar a convergência da série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que se , então:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos calcular o limite:
L = limn to infty an+1an = limn to infty 5n+14n+3
Dividindo numerador e denominador por n:
L = limn to infty 5 + 1n4 + 3n = 5 + 04 + 0 = 54 = 1.25
Como L = 1.25 > 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Temos:
a1=1, an+1=2+cos nraizn an
Primeiro, vamos tentar entender o comportamento geral dos termos an. Note que cos n oscila entre -1 e 1, então 2 + cos n fica entre 1 e 3.
Passo 7
Vamos de novo usar o Teste da Razão:
L = limn to infty an+1an = limn to infty 2 + cos nraizn
Sabemos que cos n é limitado, então 2 + cos n está entre 1 e 3. Entretanto, raizn cresce sem limite.
Passo 8
Então, o limite fica:
L = limn to infty 2 + cos nraizn = 0
Porque o denominador cresce para infinito e o numerador fica limitado. Assim, L = 0 < 1.
Passo 9
Segundo o Teste da Razão, se L < 1, a série converge. Logo, a série da parte (b) converge.