Um tanque contém 1.000 litros ( L ) de uma solução que consiste de 100 kg de sal dissolvido em água. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de , e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um tanque com 1.000 litros de uma solução que tem 100 kg de sal dissolvido na água. Água pura está entrando no tanque a uma taxa de e a mesma quantidade da mistura está saindo. Precisamos descobrir quanto tempo levará para restarem apenas 10 kg de sal no tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura homogênea e taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume do tanque permanece constante em 1.000 litros porque a água entra e sai na mesma taxa. A quantidade de sal no tanque vai diminuir conforme a mistura sai.

Passo 3

Vamos chamar da quantidade de sal no tanque no tempo . No começo, kg.

Passo 4

A água que entra é pura, sem sal, então a taxa de entrada de sal é zero. A taxa de saída de sal depende da concentração de sal na mistura que está saindo. A concentração é kg/L.

Passo 5

Como a taxa de saída é , a quantidade de sal que sai por segundo é .

Passo 6

Podemos modelar a variação de sal no tanque com a seguinte equação diferencial:
í
Então,

Passo 7

Essa é uma equação diferencial do tipo separável. Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando, temos:

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Chamando (a quantidade inicial de sal), temos:

Passo 9

Sabemos que kg. Então,
Queremos encontrar o tempo quando kg:

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 100:
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 11

Resolvendo para :
Sabemos que , então:

Resposta

Levará aproximadamente 460,5 segundos para que restem apenas 10 kg de sal no tanque.

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