Um tanque contém 1.000 litros ( L ) de uma solução que consiste de 100 kg de sal dissolvido em água. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
, e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um tanque com 1.000 litros de uma solução que tem 100 kg de sal dissolvido na água. Água pura está entrando no tanque a uma taxa de
e a mesma quantidade da mistura está saindo. Precisamos descobrir quanto tempo levará para restarem apenas 10 kg de sal no tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura homogênea e taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume do tanque permanece constante em 1.000 litros porque a água entra e sai na mesma taxa. A quantidade de sal no tanque vai diminuir conforme a mistura sai.
Passo 3
Vamos chamar
da quantidade de sal no tanque no tempo
. No começo,
kg.
Passo 4
A água que entra é pura, sem sal, então a taxa de entrada de sal é zero. A taxa de saída de sal depende da concentração de sal na mistura que está saindo. A concentração é
kg/L.
Passo 5
Como a taxa de saída é
, a quantidade de sal que sai por segundo é
.
Passo 6
Podemos modelar a variação de sal no tanque com a seguinte equação diferencial:
Então,
Passo 7
Essa é uma equação diferencial do tipo separável. Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando, temos:
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Chamando
(a quantidade inicial de sal), temos:
Passo 9
Sabemos que
kg. Então,
Queremos encontrar o tempo
quando
kg:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por 100:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 11
Resolvendo para
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Levará aproximadamente 460,5 segundos para que restem apenas 10 kg de sal no tanque.
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Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
(b)
(b)
(a) Começando com a série geométrica
, encontre a soma da série
É verdadeiro ou falso?
(a) Se é convergente, então
é convergente.
(a) Se
É verdadeiro ou falso?
© Se é convergente, então
é convergente.
© Se