Verifique que
Sugestão: substitua
por
em
.
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita que alterna sinais:
. O conteúdo aqui envolve series geométricas. A gente vai precisar lembrar como funciona a soma de uma série geométrica e usar uma substituição para chegar na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. É uma soma onde cada termo é um múltiplo constante do anterior, ou seja, tem a forma
. A soma dessa série até o infinito, quando
, é dada por:
Passo 3
Agora, olha só a sugestão da questão: substituir
por
. Vamos fazer isso na fórmula da soma da série geométrica:
Passo 4
Simplificando o denominador:
Passo 5
Portanto, a série original
é igual a
, desde que
para garantir que a série converge.
Resposta
A soma da série
é
, válida para
.
Exercícios relacionados
Os termos da série
são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:
Escreva a soma parcial
da série
Calcule a soma dos
termos de
. Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestäo:
.
(a) Começando com a série geométrica
, encontre a soma da série
Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
(b)
(b)