Verifique que
Sugestão: substitua por em .

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita que alterna sinais: . O conteúdo aqui envolve series geométricas. A gente vai precisar lembrar como funciona a soma de uma série geométrica e usar uma substituição para chegar na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. É uma soma onde cada termo é um múltiplo constante do anterior, ou seja, tem a forma . A soma dessa série até o infinito, quando , é dada por:

Passo 3

Agora, olha só a sugestão da questão: substituir por . Vamos fazer isso na fórmula da soma da série geométrica:

Passo 4

Simplificando o denominador:

Passo 5

Portanto, a série original é igual a , desde que para garantir que a série converge.

Resposta

A soma da série é , válida para .

Exercícios relacionados

Os termos da série são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:
Escreva a soma parcial da série
Calcule a soma dos termos de . Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestäo: .
(a) Começando com a série geométrica , encontre a soma da série
Encontre e expresse em função de . Determine se é monótona e limitada. Calcule .
(b)