Verifique que
sumn=0^infty(-1)^n a^n=1-a+a^2-a^3+cdots=11+a, |a|<1
Sugestão: substitua x por -a em 1+x+x^2+x^3+cdots+x^n=(1-x^n+1) /(1-x).

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita que alterna sinais: . O conteúdo aqui envolve series geométricas. A gente vai precisar lembrar como funciona a soma de uma série geométrica e usar uma substituição para chegar na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. É uma soma onde cada termo é um múltiplo constante do anterior, ou seja, tem a forma sumn=0^infty x^n = 11 - x . A soma dessa série até o infinito, quando , é dada por:

Passo 3

Agora, olha só a sugestão da questão: substituir sumn=0^infty (-a)^n = 11 - (-a) por . Vamos fazer isso na fórmula da soma da série geométrica:

Passo 4

Simplificando o denominador:
11 - (-a) = 11 + a

Passo 5

Portanto, a série original é igual a , desde que para garantir que a série converge.

Resposta

A soma da série é , válida para .

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