Encontre a1 e expresse an+1 em função de an. Determine se ann=1^infty é monótona e limitada. Calcule lim an.
(b) 1,3-11, 3-13-11, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que começa com 1 e segue assim: . Nosso objetivo é encontrar o primeiro termo , expressar o próximo termo em função de , verificar se essa sequência é monótona e limitada, e finalmente calcular o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas, monotonicidade, limites e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando a sequência fornecida:
1, 3 - 11, 3 - 13 - 11, ldots
O primeiro termo a1 = 1 é simplesmente o primeiro número da sequência, que é:

Passo 3

Agora, vamos expressar an+1 = 3 - 1an em função de an+1 = 3 - 1an. Observando a estrutura da sequência, percebemos que cada termo depois do primeiro é formado por:
Então, a relação de recorrência da sequência é:

Passo 4

Vamos verificar se a sequência é monótona e limitada.
Monotonicidade:
Vamos ver se a sequência está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos calcular alguns termos:
a1 &= 1 a2 &= 3 - 11 = 2 a3 &= 3 - 12 = 2.5 a4 &= 3 - 12.5 = 3 - 0.4 = 2.6
Parece que os termos estão aumentando. Vamos supor que a sequência é crescente.
Limitada:
Vamos verificar se há um limite superior para os termos. Observando os cálculos acima, parece que os termos estão se aproximando de 3, mas nunca ultrapassam esse valor. Então, a sequência é limitada superiormente por 3.
Como a sequência é crescente e limitada, podemos concluir que ela é monótona crescente e limitada.

Passo 5

Vamos calcular o limite da sequência. Suponha que a sequência converge para um limite L &= 3 - 1L L + 1L &= 3 L^2 + 1L &= 3 L^2 + 1 &= 3L L^2 - 3L + 1 &= 0 . Então:
L = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
Resolvendo a equação quadrática:
L = 3 + raiz52
Como a sequência é crescente e começa em 1, vamos escolher a raiz maior:

Resposta

, a relação de recorrência é . A sequência é monótona crescente e limitada. O limite da sequência é .

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