Encontre e expresse em função de . Determine se é monótona e limitada. Calcule .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que começa com 1 e segue assim: . Nosso objetivo é encontrar o primeiro termo , expressar o próximo termo em função de , verificar se essa sequência é monótona e limitada, e finalmente calcular o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas, monotonicidade, limites e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando a sequência fornecida:
O primeiro termo é simplesmente o primeiro número da sequência, que é:

Passo 3

Agora, vamos expressar em função de . Observando a estrutura da sequência, percebemos que cada termo depois do primeiro é formado por:
Então, a relação de recorrência da sequência é:

Passo 4

Vamos verificar se a sequência é monótona e limitada.
Monotonicidade:
Vamos ver se a sequência está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos calcular alguns termos:
Parece que os termos estão aumentando. Vamos supor que a sequência é crescente.
Limitada:
Vamos verificar se há um limite superior para os termos. Observando os cálculos acima, parece que os termos estão se aproximando de 3, mas nunca ultrapassam esse valor. Então, a sequência é limitada superiormente por 3.
Como a sequência é crescente e limitada, podemos concluir que ela é monótona crescente e limitada.

Passo 5

Vamos calcular o limite da sequência. Suponha que a sequência converge para um limite . Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a sequência é crescente e começa em 1, vamos escolher a raiz maior:

Resposta

, a relação de recorrência é . A sequência é monótona crescente e limitada. O limite da sequência é .

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