Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que começa com 1 e segue assim:
. Nosso objetivo é encontrar o primeiro termo
, expressar o próximo termo
em função de
, verificar se essa sequência é monótona e limitada, e finalmente calcular o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas, monotonicidade, limites e propriedades de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência. Olhando a sequência fornecida:
O primeiro termo
é simplesmente o primeiro número da sequência, que é:
Passo 3
Agora, vamos expressar
em função de
. Observando a estrutura da sequência, percebemos que cada termo depois do primeiro é formado por:
Então, a relação de recorrência da sequência é:
Passo 4
Vamos verificar se a sequência é monótona e limitada.
Monotonicidade:
Vamos ver se a sequência está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos calcular alguns termos:
Vamos ver se a sequência está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos calcular alguns termos:
Parece que os termos estão aumentando. Vamos supor que a sequência é crescente.
Limitada:
Vamos verificar se há um limite superior para os termos. Observando os cálculos acima, parece que os termos estão se aproximando de 3, mas nunca ultrapassam esse valor. Então, a sequência é limitada superiormente por 3.
Vamos verificar se há um limite superior para os termos. Observando os cálculos acima, parece que os termos estão se aproximando de 3, mas nunca ultrapassam esse valor. Então, a sequência é limitada superiormente por 3.
Como a sequência é crescente e limitada, podemos concluir que ela é monótona crescente e limitada.
Passo 5
Vamos calcular o limite da sequência. Suponha que a sequência converge para um limite
. Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a sequência é crescente e começa em 1, vamos escolher a raiz maior:
Resposta
Exercícios relacionados
(a) Começando com a série geométrica
, encontre a soma da série
Verifique que
Sugestão: substitua
por
em
.
Um tanque contém 1.000 litros ( L ) de uma solução que consiste de 100 kg de sal dissolvido em água. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
, e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?
É verdadeiro ou falso?
(a) Se é convergente, então
é convergente.
(a) Se