Uma placa quadrada de lado
situada no plano
possui as seguintes condições de contorno:
- para
- para
De posse dessas informações obtenha o potencial eletrostático
na região limitada pela placa e que satisfaça as condições de contorno.
De posse dessas informações obtenha o potencial eletrostático
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma placa quadrada no plano xy com lado de comprimento
. Nas bordas laterais dessa placa (onde
e
), temos valores específicos para o potencial eletrostático
. Nosso objetivo é encontrar a expressão para
dentro dessa região que respeite essas condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a equação de Laplace, que descreve como o potencial se comporta em regiões sem carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em eletrostática, o potencial
em uma região sem cargas satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
No nosso caso bidimensional, isso se traduz em:
Essa equação nos diz que a soma das segundas derivadas parciais do potencial em relação a
e
é zero. Nosso trabalho é encontrar uma função
que satisfaça essa equação e as condições de contorno fornecidas.
Passo 3
Como as condições de contorno só são dadas para
e
, podemos supor que o potencial não depende de
, ou seja,
. Isso simplifica a equação de Laplace, já que a derivada em relação a
será zero:
Agora, nossa tarefa é resolver essa equação diferencial ordinária.
Passo 4
Resolvendo a equação
, integramos duas vezes em relação a
:
Primeira integração:
Segunda integração:
Onde
e
são constantes de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Aplicando as condições de contorno para encontrar
e
:
-
Para
, : -
Para
, :
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na expressão para
:
Podemos simplificar isso rearranjando os termos:
Resposta
O potencial eletrostático na região é dado por:
Exercícios relacionados
Um motorista resolveu calibrar os pneus do seu automóvel e um deles apresentava uma pressão manométrica de 13 psi. Resolve então encher de ar até a pressão de 31 psi (manométrica), quando percebe que houve um aumento de
no volume do pneu.
Sabendo-se que a temperatura permaneceu constante nesse processo, de quanto aumentou a quantidade de ar, isto é, (nf-ni)/ni, em porcentagem?
Considere a pressão atmosférica igual a 14,7 psi.
Sabendo-se que a temperatura permaneceu constante nesse processo, de quanto aumentou a quantidade de ar, isto é, (nf-ni)/ni, em porcentagem?
Considere a pressão atmosférica igual a 14,7 psi.
Começando com o vetor de Poynting (
) complexo de zona distante de um dipolo hertziano direcionado a
, conforme a equação:
e integrando a densidade de potência de superfície média no tempo correspondente através de uma superfície esférica de raio (
) centralizada no origem da coordenada, calcule a potência irradiada e a resistência de irradiação do dipolo.
Duas placas paralelas de
de área recebem cargas de mesmo valor absoluto,
, e sinais opostos. O campo elétrico no interior do dielétrico que preenche o espaço entre as placas é
.
a) Calcule a constante dielétrica do material.
a) Calcule a constante dielétrica do material.
Um grupo de dedicados estudantes de Física decidem construir um capacitor utilizando materiais de fácil acesso. A idéia é utilizar um copo de vidro cilíndrico (
, altura
20 cm , diâmetro interno 10 cm e diâmetro externo 11 cm ) como material dielétrico e cobrir as paredes internas e externas com papel alumínio. Estime a capacitância a ser obtida no dispositivo.