Uma placa quadrada de lado ell situada no plano x y possui as seguintes condições de contorno:
  • para x=0 V(0, y)=2 V0
  • para x=ell V(ell, y)=-2 V0
    De posse dessas informações obtenha o potencial eletrostático V=V(x, y) na região limitada pela placa e que satisfaça as condições de contorno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma placa quadrada no plano xy com lado de comprimento ell. Nas bordas laterais dessa placa (onde x=0 e x=ell), temos valores específicos para o potencial eletrostático V. Nosso objetivo é encontrar a expressão para V(x, y) dentro dessa região que respeite essas condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a equação de Laplace, que descreve como o potencial se comporta em regiões sem carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em eletrostática, o potencial V(x, y) em uma região sem cargas satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
nabla^2 V = 0
No nosso caso bidimensional, isso se traduz em:
partial^2 Vpartial x^2 + partial^2 Vpartial y^2 = 0
Essa equação nos diz que a soma das segundas derivadas parciais do potencial em relação a x e y é zero. Nosso trabalho é encontrar uma função V(x, y) que satisfaça essa equação e as condições de contorno fornecidas.

Passo 3

Como as condições de contorno só são dadas para x=0 e x=ell, podemos supor que o potencial não depende de y, ou seja, V = V(x). Isso simplifica a equação de Laplace, já que a derivada em relação a y será zero:
d^2 Vdx^2 = 0
Agora, nossa tarefa é resolver essa equação diferencial ordinária.

Passo 4

Resolvendo a equação d^2 Vdx^2 = 0, integramos duas vezes em relação a x:
Primeira integração:
dVdx = C1
Segunda integração:
V(x) = C1 x + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Aplicando as condições de contorno para encontrar C1 e C2:
  1. Para x=0, V(0) = 2V0:
    2V0 = C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = 2V0
  2. Para x=ell, V(ell) = -2V0:
    -2V0 = C1 cdot ell + 2V0
Resolvendo para C1:
C1 cdot ell = -4V0 C1 = -4V0ell

Passo 6

Agora que temos C1 e C2, substituímos de volta na expressão para V(x):
V(x) = -4V0ell x + 2V0
Podemos simplificar isso rearranjando os termos:
V(x) = 2V0 (1 - 2xell)

Resposta

O potencial eletrostático na região é dado por:
V(x) = 2V0 (1 - 2xell)

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