Encontre
se
e
(em vez de
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
e a condição
. Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial de primeira ordem e variável separável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
. Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é proporcional a
multiplicada por uma constante
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração:
Passo 5
Para resolver para
, vamos exponents ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituímos
e
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.