Encontre y(t) se d y / d t = a y e y(T) = 1 (em vez de y(0) = 1 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função que satisfaz a equação diferencial e a condição . Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial de primeira ordem e variável separável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: . Isso significa que a taxa de variação de em relação a é proporcional a multiplicada por uma constante .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis e . Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é , onde é a constante de integração:

Passo 5

Para resolver para , vamos exponents ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar como uma nova constante :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituímos e na equação:
Resolvendo para :

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão para :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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