Continue multiplicando por x e derivando até obter a série sumn=1^infty n^3 x^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para continuarmos multiplicando por e derivando até chegar na série . A matéria que estamos lidando aqui é séries de potências e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a série geométrica básica e aplicar derivadas sucessivas nela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica, que é:
sumn=0^infty x^n = 11 - x, para |x| < 1
Essa série é a base para o que vamos fazer a seguir.

Passo 3

Vamos começar derivando essa série em relação a ddx ( sumn=0^infty x^n ) = ddx ( 11 - x ) . Derivar uma série termo a termo nos ajuda a trazer os expoentes para multiplicar os coeficientes. Derivando ambos os lados, temos:
sumn=1^infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2
O que resulta em:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por x cdot sumn=1^infty n x^n-1 = x cdot 1(1 - x)^2 para ajustar os expoentes:
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2
Simplificando, fica:

Passo 5

Vamos derivar novamente a série resultante para aumentar o poder de ddx ( sumn=1^infty n x^n ) = ddx ( x(1 - x)^2 ) . Derivando ambos os lados:
(1 - x)^2 - x cdot 2(1 - x) (-1)(1 - x)^4 = (1 - x)^2 + 2x(1 - x)(1 - x)^4 = 1 + x(1 - x)^3
Calculando a derivada do lado direito:
sumn=1^infty n^2 x^n-1 = 1 + x(1 - x)^3
Então, a série derivada fica:

Passo 6

Mais uma vez, vamos multiplicar por x cdot sumn=1^infty n^2 x^n-1 = x cdot 1 + x(1 - x)^3 para ajustar os expoentes:
sumn=1^infty n^2 x^n = x(1 + x)(1 - x)^3
Simplificando:

Passo 7

Vamos derivar uma última vez para aumentar o poder de ddx ( sumn=1^infty n^2 x^n ) = ddx ( x(1 + x)(1 - x)^3 ) para 3. Derivando ambos os lados:
(1 + x)(1 - x)^3 + x cdot (1)(1 - x)^3 - x(1 + x) cdot 3(1 - x)^2 (-1)(1 - x)^6
Calculando a derivada do lado direito usando a regra do produto e da cadeia:
1 + 4x + x^2(1 - x)^4
Simplificando essa expressão resulta em:
sumn=1^infty n^3 x^n-1 = 1 + 4x + x^2(1 - x)^4
Portanto, a série derivada fica:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos por x cdot sumn=1^infty n^3 x^n-1 = x cdot 1 + 4x + x^2(1 - x)^4 mais uma vez para ajustar os expoentes:
sumn=1^infty n^3 x^n = x(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4
Simplificando, temos:

Resposta

A série é igual a sumn=1^infty n^3 x^n = x(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4 . Portanto,

Exercícios relacionados