Continue multiplicando por
e derivando até obter a série
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para continuarmos multiplicando por
e derivando até chegar na série
. A matéria que estamos lidando aqui é séries de potências e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a série geométrica básica e aplicar derivadas sucessivas nela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica, que é:
Essa série é a base para o que vamos fazer a seguir.
Passo 3
Vamos começar derivando essa série em relação a
. Derivar uma série termo a termo nos ajuda a trazer os expoentes para multiplicar os coeficientes. Derivando ambos os lados, temos:
O que resulta em:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para ajustar os expoentes:
Simplificando, fica:
Passo 5
Vamos derivar novamente a série resultante para aumentar o poder de
. Derivando ambos os lados:
Calculando a derivada do lado direito:
Então, a série derivada fica:
Passo 6
Mais uma vez, vamos multiplicar por
para ajustar os expoentes:
Simplificando:
Passo 7
Vamos derivar uma última vez para aumentar o poder de
para 3. Derivando ambos os lados:
Calculando a derivada do lado direito usando a regra do produto e da cadeia:
Simplificando essa expressão resulta em:
Portanto, a série derivada fica:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos por
mais uma vez para ajustar os expoentes:
Simplificando, temos:
Resposta
A série é igual a
. Portanto,