Mostre que se F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t, f(x) é par, se F(x) é ímpar e vice-versa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se temos
, então a função
é par quando
é ímpar, e vice-versa. Isso envolve conceitos de cálculo integral e propriedades de funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares. Uma função
é par se
para todo
. Já é ímpar se
para todo
.
Passo 3
Também, uma função
é ímpar se
. Nosso objetivo é relacionar a paridade de
com a paridade de
.
Passo 4
Vamos considerar
. Queremos analisar
:
Passo 5
Fazendo uma substituição de variável, deixamos o limite inferior como 0 e expressamos em termos de
:
Passo 6
Agora, se assumirmos que
é par, então
. Substituindo isso na integral:
Isso mostra que se
é par, então
é ímpar.
Passo 7
Agora, vamos supor que
é ímpar, ou seja,
. Usando a expressão que encontramos:
Isso implica que
, ou seja,
é ímpar.
Resposta
Portanto, mostramos que
é par se
é ímpar, e vice-versa.