Mostre que se F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t, f(x) é par, se F(x) é ímpar e vice-versa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se temos , então a função é par quando é ímpar, e vice-versa. Isso envolve conceitos de cálculo integral e propriedades de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares. Uma função é par se para todo . Já é ímpar se para todo .

Passo 3

Também, uma função é ímpar se . Nosso objetivo é relacionar a paridade de com a paridade de .

Passo 4

Vamos considerar . Queremos analisar :

Passo 5

Fazendo uma substituição de variável, deixamos o limite inferior como 0 e expressamos em termos de :

Passo 6

Agora, se assumirmos que é par, então . Substituindo isso na integral:
Isso mostra que se é par, então é ímpar.

Passo 7

Agora, vamos supor que é ímpar, ou seja, . Usando a expressão que encontramos:
Isso implica que , ou seja, é ímpar.

Resposta

Portanto, mostramos que é par se é ímpar, e vice-versa.

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