Solução cada uma das Equações Diferenciais Ordinárias abaixo: x^3 y' + (2 - 3 x^2) y = x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação linear. Precisaremos identificar os coeficientes da EDO e encontrar o fator que nos ajudará a simplificar a equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO linear:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Simplificando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pela :
Isso nos dá:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:

Passo 7

Substituímos de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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