Solução cada uma das Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação linear. Precisaremos identificar os coeficientes da EDO e encontrar o fator que nos ajudará a simplificar a equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO linear:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Simplificando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pela
:
Isso nos dá:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Assim:
Passo 7
Substituímos de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.