Um comedouro de ração em um aviário no formato de um cone invertido com o raio do topo medindo 40 cm e de altura 60 cm reduz sua quantidade da ração a uma taxa constante de
. Qual é a taxa de variação da altura da ração quando ela está com 25 cm ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um comedouro de ração que é como um cone de cabeça para baixo. O raio no topo desse cone é de 40 cm e a altura é de 60 cm. A ração está sendo diminuída a uma taxa constante de
. A pergunta é: qual é a taxa de variação da altura da ração quando a altura está em 25 cm?
Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria dos cones e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone. O volume
de um cone é dado por:
onde
é o raio da base e
é a altura do cone.
Passo 3
No nosso caso, o cone está invertido e a ração forma um cone menor dentro dele. À medida que a ração diminui, tanto a altura
quanto o raio
desse cone menor mudam. Mas como o comedouro tem formato fixo, há uma relação entre
e
.
Sabemos que quando
cm,
cm. Então a relação entre
e
é:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Então, o volume em função da altura é:
Passo 5
Queremos encontrar a taxa de variação da altura
quando
cm. Sabemos que a taxa de variação do volume
é
(negativo porque o volume está diminuindo).
Vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação da altura da ração quando a altura está em 25 cm é aproximadamente
, ou seja, cerca de
.
Exercícios relacionados
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(d) ( ponto) as assíntotas de
(d) (
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
© (1 ponto) os intervalos onde possui concavidade para cima, concavidade para baixo e os pontos de inflexão de
;
© (1 ponto) os intervalos onde
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(b) ( ponto) os pontos máximos e mínimos locais e globais de
;
(b) (
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
(a) ( ponto) os intervalos onde
é crescente e decrescente;
(a) (