Um comedouro de ração em um aviário no formato de um cone invertido com o raio do topo medindo 40 cm e de altura 60 cm reduz sua quantidade da ração a uma taxa constante de . Qual é a taxa de variação da altura da ração quando ela está com 25 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um comedouro de ração que é como um cone de cabeça para baixo. O raio no topo desse cone é de 40 cm e a altura é de 60 cm. A ração está sendo diminuída a uma taxa constante de . A pergunta é: qual é a taxa de variação da altura da ração quando a altura está em 25 cm?
Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria dos cones e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone. O volume de um cone é dado por:
onde é o raio da base e é a altura do cone.

Passo 3

No nosso caso, o cone está invertido e a ração forma um cone menor dentro dele. À medida que a ração diminui, tanto a altura quanto o raio desse cone menor mudam. Mas como o comedouro tem formato fixo, há uma relação entre e .
Sabemos que quando cm, cm. Então a relação entre e é:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Então, o volume em função da altura é:

Passo 5

Queremos encontrar a taxa de variação da altura quando cm. Sabemos que a taxa de variação do volume é (negativo porque o volume está diminuindo).
Vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo :

Passo 6

Agora, isolamos :
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação da altura da ração quando a altura está em 25 cm é aproximadamente , ou seja, cerca de .

Exercícios relacionados

Considere a função definida por . Determine, caso existam:
(d) ( ponto) as assíntotas de
Considere a função definida por . Determine, caso existam:
© (1 ponto) os intervalos onde possui concavidade para cima, concavidade para baixo e os pontos de inflexão de ;
Considere a função definida por . Determine, caso existam:
(b) ( ponto) os pontos máximos e mínimos locais e globais de ;
Considere a função definida por . Determine, caso existam:
(a) ( ponto) os intervalos onde é crescente e decrescente;