Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
© (1 ponto) os intervalos onde
possui concavidade para cima, concavidade para baixo e os pontos de inflexão de
;
© (1 ponto) os intervalos onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente descobrir onde a função
é côncava para cima, côncava para baixo e também encontrar os pontos de inflexão. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especialmente a segunda derivada, para determinar a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da função
. A segunda derivada nos ajuda a entender a curvatura da função, ou seja, se ela está “sorrindo” (côncava para cima) ou “chorando” (côncava para baixo).
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada
. Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada
:
Usando a regra do quociente e simplificando:
Passo 5
Para encontrar onde a função é côncava para cima ou para baixo, analisamos o sinal da segunda derivada
:
O numerador
é sempre positivo, já que
para todo
. Então, o sinal de
depende do denominador
.
Passo 6
Analisando o denominador:
- Se
(ou seja, ), então e . Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo. - Se
(ou seja, ), então e . Portanto, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Passo 7
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão. Isso ocorre onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, em
e
.
Resposta
A função
é côncava para cima no intervalo
, côncava para baixo nos intervalos
e
e possui pontos de inflexão em
e
.
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(b) ( ponto)
(b) (
Calcule a derivada da função abaixo:
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(a) (1/2 ponto)
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
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(d) (
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