Considere a função definida por . Determine, caso existam:
© (1 ponto) os intervalos onde possui concavidade para cima, concavidade para baixo e os pontos de inflexão de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente descobrir onde a função é côncava para cima, côncava para baixo e também encontrar os pontos de inflexão. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especialmente a segunda derivada, para determinar a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da função . A segunda derivada nos ajuda a entender a curvatura da função, ou seja, se ela está “sorrindo” (côncava para cima) ou “chorando” (côncava para baixo).

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada . Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada :
Usando a regra do quociente e simplificando:

Passo 5

Para encontrar onde a função é côncava para cima ou para baixo, analisamos o sinal da segunda derivada :
O numerador é sempre positivo, já que para todo . Então, o sinal de depende do denominador .

Passo 6

Analisando o denominador:
  • Se (ou seja, ), então e . Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Se (ou seja, ), então e . Portanto, a função é côncava para baixo nesse intervalo.

Passo 7

Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão. Isso ocorre onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, em e .

Resposta

A função é côncava para cima no intervalo , côncava para baixo nos intervalos e e possui pontos de inflexão em e .

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