Considere a função definida por f(x)=(x^2+4)/(4-x^2). Determine, caso existam:
(d) ( 1/2 ponto) as assíntotas de f

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir as assíntotas dessa função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando vai para infinito ou quando a função se aproxima de certos valores de . A gente vai precisar entender assíntotas verticais e horizontais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função não está definida e pode “explode” para o infinito. Então, vamos resolver .

Passo 3

Resolvendo :
Então, temos possíveis assíntotas verticais em e .

Passo 4

Agora, vamos ver sobre as assíntotas horizontais. Elas aparecem quando vai para mais ou menos infinito. A gente olha para o comportamento da função quando fica muito grande.
Nosso numerador é e o denominador é . Quando cresce bastante, os termos dominam, então podemos simplificar a função para:

Passo 5

Isso quer dizer que a função se aproxima da linha quando vai para ou . Então, temos uma assíntota horizontal em .

Resposta

A função tem assíntotas verticais em e e uma assíntota horizontal em .

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