Como comentado no livro Física Moderna de Tipler e Llewellyn, a radiação cósmica de fundo apresenta a distribuição espectral de um corpo negro a uma temperatura de
. (a) Qual é o comprimento de onda da radiação de fundo para o qual a intensidade
é máxima? (b) Qual é a frequência da radiação neste ponto do espectro? © Qual é a potência total da radiação de fundo que incide em nosso planeta? Assuma que o raio da Terra é
.
Respostas: (a)
(microondas); (b)
; ©
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é máxima? (b) Qual é a frequência da radiação neste ponto do espectro? © Qual é a potência total da radiação de fundo que incide em nosso planeta? Assuma que o raio da Terra é
Respostas: (a)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre a radiação cósmica de fundo, que é como o “eco” do Big Bang ainda presente no universo. A gente vai usar física moderna, mais especificamente a teoria de corpo negro, para resolver três perguntas:
(a) Encontrar o comprimento de onda onde a intensidade dessa radiação é máxima.
(b) Determinar a frequência nessa parte do espectro.
© Calcular a potência total da radiação que chega na Terra, sabendo o raio dela.
Para isso, vamos precisar das fórmulas de corpo negro de Wien e da lei de Stefan-Boltzmann.
Passo 2
Primeiro, para achar o comprimento de onda onde a intensidade é máxima, usamos a Lei de Deslocamento de Wien. Essa lei nos diz qual é o comprimento de onda (
) onde a energia irradiada por um corpo negro é máxima, em função da temperatura
.
A fórmula é:
onde
é a constante de Wien.
Passo 3
Vamos aplicar os valores dados:
Temperatura
.
Substituindo na fórmula:
Convertendo para milímetros:
Passo 4
Agora, para encontrar a frequência (
) correspondente a esse comprimento de onda, usamos a relação entre frequência, comprimento de onda e a velocidade da luz
:
Onde
.
Passo 5
Substituindo
:
Passo 6
Por último, para calcular a potência total (
) da radiação que incide na Terra, usamos a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência total irradiada por um corpo negro com sua temperatura:
Onde:
-
é a constante de Stefan-Boltzmann. -
é a área da superfície que está recebendo a radiação.
Passo 7
A Terra recebe a radiação na sua área de disco (como se fosse uma sombra), então:
Com
.
Calculando
:
Passo 8
Agora, substituindo tudo na fórmula da potência:
Calculando
:
Então:
Resposta
(a) O comprimento de onda da radiação de fundo para o qual a intensidade é máxima é aproximadamente 1,07 mm (microondas).
(b) A frequência da radiação neste ponto do espectro é cerca de
Hz.
© A potência total da radiação de fundo que incide em nosso planeta é aproximadamente
W.