Como comentado no livro Física Moderna de Tipler e Llewellyn, a radiação cósmica de fundo apresenta a distribuição espectral de um corpo negro a uma temperatura de 2,7 K. (a) Qual é o comprimento de onda da radiação de fundo para o qual a intensidade
é máxima? (b) Qual é a frequência da radiação neste ponto do espectro? © Qual é a potência total da radiação de fundo que incide em nosso planeta? Assuma que o raio da Terra é rT=6,38 times 10^6 m.
Respostas: (a) 1,07 mm (microondas); (b) 2,80 times 10^11 Hz; © 1,54 times 10^9 W.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre a radiação cósmica de fundo, que é como o “eco” do Big Bang ainda presente no universo. A gente vai usar física moderna, mais especificamente a teoria de corpo negro, para resolver três perguntas:
(a) Encontrar o comprimento de onda onde a intensidade dessa radiação é máxima.
(b) Determinar a frequência nessa parte do espectro.
© Calcular a potência total da radiação que chega na Terra, sabendo o raio dela.
Para isso, vamos precisar das fórmulas de corpo negro de Wien e da lei de Stefan-Boltzmann.

Passo 2

Primeiro, para achar o comprimento de onda onde a intensidade é máxima, usamos a Lei de Deslocamento de Wien. Essa lei nos diz qual é o comprimento de onda ( lambdamáx = bT á) onde a energia irradiada por um corpo negro é máxima, em função da temperatura .
A fórmula é:
á
onde é a constante de Wien.

Passo 3

Vamos aplicar os valores dados:
Temperatura lambdamáx = 2,897 times 10^-3 m·K2,7 K approx 1,073 times 10^-3 m .
Substituindo na fórmula:
1,073 times 10^-3 m = 1,07 mm á
Convertendo para milímetros:

Passo 4

Agora, para encontrar a frequência ( nu = clambda á) correspondente a esse comprimento de onda, usamos a relação entre frequência, comprimento de onda e a velocidade da luz :
Onde .

Passo 5

Substituindo numáx = 3 times 10^8 m/s1,07 times 10^-3 m approx 2,80 times 10^11 Hz á:
á

Passo 6

Por último, para calcular a potência total ( P = sigma A T^4 ) da radiação que incide na Terra, usamos a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência total irradiada por um corpo negro com sua temperatura:
Onde:
  • é a constante de Stefan-Boltzmann.
  • é a área da superfície que está recebendo a radiação.

Passo 7

A Terra recebe a radiação na sua área de disco (como se fosse uma sombra), então:
A = pi rT^2
Com A = pi (6,38 times 10^6 m)^2 approx 1,28 times 10^14 m^2 .
Calculando :

Passo 8

Agora, substituindo tudo na fórmula da potência:
P = 5,67 times 10^-8 W/m^2K^4 times 1,28 times 10^14 m^2 times (2,7 K)^4
Calculando (2,7)^4 approx 53,14 :
P approx 5,67 times 10^-8 times 1,28 times 10^14 times 53,14 approx 1,54 times 10^9 W
Então:

Resposta

(a) O comprimento de onda da radiação de fundo para o qual a intensidade é máxima é aproximadamente 1,07 mm (microondas).
(b) A frequência da radiação neste ponto do espectro é cerca de Hz.
© A potência total da radiação de fundo que incide em nosso planeta é aproximadamente W.

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