A temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é 3300 K . Supondo que o filamento se comporte como um corpo negro, (a) determine a frequência e comprimento de onda no ponto máximo da distribuição espectral; (b) Supondo que essa frequência de pico seja uma boa aproximação para a frequência média dos fótons emitidos pela lâmpada, determine o número médio de fótons produzidos por segundo.; © Se um observador a 5 m de distância está olhando para a lâmpada, quantos fótons por segundo atingem um olho do observador? Considere que o diâmetro médio da pupila humana é de aproximadamente .
Respostas: (a) e ; (b) fótons/s; © fótons/s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lâmpada incandescente que tem um filamento a 3300 K se comportando como um corpo negro. Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a frequência e o comprimento de onda no ponto máximo da distribuição espectral.
b) Determinar o número médio de fótons emitidos por segundo.
c) Calcular quantos fótons por segundo atingem o olho de um observador a 5 metros de distância.
Vamos precisar usar a Lei de Wien para encontrar o comprimento de onda e a frequência no pico da distribuição, a relação entre energia e fóton para a parte b, e a lei do inverso do quadrado para a parte c.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a). Para encontrar o comprimento de onda no ponto de máximo da distribuição espectral, usamos a Lei de Deslocamento de Wien, que é dada por:
Onde:
  • é o comprimento de onda no pico.
  • é a constante de Wien, aproximadamente .
  • é a temperatura do corpo negro, que neste caso é 3300 K.
Vamos calcular:
Agora, para encontrar a frequência no pico ( ), usamos a relação entre velocidade da luz, frequência e comprimento de onda:
Rearranjando para encontrar :
Onde é a velocidade da luz ( ).
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b). Queremos saber o número médio de fótons emitidos por segundo. Primeiro, precisamos relacionar a potência da lâmpada com a energia de cada fóton.
A potência é a energia por unidade de tempo. A energia de um fóton é dada por:
Onde:
  • é a constante de Planck ( ).
  • é a frequência do fóton.
O número de fótons emitidos por segundo ( ) é então:
Substituindo os valores:
ó

Passo 4

Por fim, na parte c), queremos saber quantos desses fótons atingem o olho de um observador a 5 metros de distância. Para isso, usamos a Lei do Inverso do Quadrado, que nos diz que a intensidade diminui com o quadrado da distância.
Primeiro, calculamos a área da esfera que representa a propagação dos fótons a 5 metros:
A área da pupila do olho é de . Então, a área da pupila é:
A fração de fótons que passa pela pupila é:
çã
Então, o número de fótons que atingem o olho por segundo é:
çãóó

Resposta

(a) e ;
(b) fótons/s;
© fótons/s.

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