A temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é 3300 K . Supondo que o filamento se comporte como um corpo negro, (a) determine a frequência e comprimento de onda no ponto máximo da distribuição espectral; (b) Supondo que essa frequência de pico seja uma boa aproximação para a frequência média dos fótons emitidos pela lâmpada, determine o número médio de fótons produzidos por segundo.; © Se um observador a 5 m de distância está olhando para a lâmpada, quantos fótons por segundo atingem um olho do observador? Considere que o diâmetro médio da pupila humana é de aproximadamente 5,0 mm.
Respostas: (a) lambdamax =8,78 times 10^-7 m e fmax =3,42 times 10^14 Hz; (b) 1,8 times 10^20 fótons/s; © 1,1 times 10^13 fótons/s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lâmpada incandescente que tem um filamento a 3300 K se comportando como um corpo negro. Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a frequência e o comprimento de onda no ponto máximo da distribuição espectral.
b) Determinar o número médio de fótons emitidos por segundo.
c) Calcular quantos fótons por segundo atingem o olho de um observador a 5 metros de distância.
Vamos precisar usar a Lei de Wien para encontrar o comprimento de onda e a frequência no pico da distribuição, a relação entre energia e fóton para a parte b, e a lei do inverso do quadrado para a parte c.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a). Para encontrar o comprimento de onda no ponto de máximo da distribuição espectral, usamos a Lei de Deslocamento de Wien, que é dada por:
lambdamax = bT
Onde:
  • lambdamax = 2,897 times 10^-3 , m cdot K3300 , K approx 8,78 times 10^-7 , m é o comprimento de onda no pico.
  • c = lambda cdot f é a constante de Wien, aproximadamente fmax = clambdamax .
  • fmax = 3,00 times 10^8 , m/s8,78 times 10^-7 , m approx 3,42 times 10^14 , Hz é a temperatura do corpo negro, que neste caso é 3300 K.
Vamos calcular:
Agora, para encontrar a frequência no pico ( ), usamos a relação entre velocidade da luz, frequência e comprimento de onda:
Rearranjando para encontrar :
Onde é a velocidade da luz ( ).
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b). Queremos saber o número médio de fótons emitidos por segundo. Primeiro, precisamos relacionar a potência da lâmpada com a energia de cada fóton.
A potência E = h cdot f é a energia por unidade de tempo. A energia de um fóton é dada por:
N = PE = Ph cdot fmax
Onde:
  • N = 40 , W6,626 times 10^-34 , J cdot s times 3,42 times 10^14 , Hz approx 1,8 times 10^20 , fótons/s é a constante de Planck ( ).
  • é a frequência do fóton.
O número de fótons emitidos por segundo ( ) é então:
Substituindo os valores:
ó

Passo 4

Por fim, na parte c), queremos saber quantos desses fótons atingem o olho de um observador a 5 metros de distância. Para isso, usamos a Lei do Inverso do Quadrado, que nos diz que a intensidade diminui com o quadrado da distância.
Primeiro, calculamos a área da esfera que representa a propagação dos fótons a 5 metros:
A = 4 pi r^2 = 4 pi (5 , m)^2 = 4 pi times 25 , m^2 approx 314,16 , m^2
A área da pupila do olho é de Apupila = pi ( 5,0 times 10^-3 , m2 )^2 approx 1,9635 times 10^-5 , m^2 . Então, a área da pupila é:
Fração = ApupilaA = 1,9635 times 10^-5 , m^2314,16 , m^2 approx 6,25 times 10^-8
A fração de fótons que passa pela pupila é:
Nolho = N times Fração = 1,8 times 10^20 , fótons/s times 6,25 times 10^-8 approx 1,1 times 10^13 , fótons/s çã
Então, o número de fótons que atingem o olho por segundo é:
çãóó

Resposta

(a) e ;
(b) fótons/s;
© fótons/s.

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