A temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é 3300 K . Supondo que o filamento se comporte como um corpo negro, (a) determine a frequência e comprimento de onda no ponto máximo da distribuição espectral; (b) Supondo que essa frequência de pico seja uma boa aproximação para a frequência média dos fótons emitidos pela lâmpada, determine o número médio de fótons produzidos por segundo.; © Se um observador a 5 m de distância está olhando para a lâmpada, quantos fótons por segundo atingem um olho do observador? Considere que o diâmetro médio da pupila humana é de aproximadamente
.
Respostas: (a)
e
; (b)
fótons/s; ©
fótons/s.
Respostas: (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lâmpada incandescente que tem um filamento a 3300 K se comportando como um corpo negro. Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a frequência e o comprimento de onda no ponto máximo da distribuição espectral.
b) Determinar o número médio de fótons emitidos por segundo.
c) Calcular quantos fótons por segundo atingem o olho de um observador a 5 metros de distância.
b) Determinar o número médio de fótons emitidos por segundo.
c) Calcular quantos fótons por segundo atingem o olho de um observador a 5 metros de distância.
Vamos precisar usar a Lei de Wien para encontrar o comprimento de onda e a frequência no pico da distribuição, a relação entre energia e fóton para a parte b, e a lei do inverso do quadrado para a parte c.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a). Para encontrar o comprimento de onda no ponto de máximo da distribuição espectral, usamos a Lei de Deslocamento de Wien, que é dada por:
Onde:
-
é o comprimento de onda no pico. -
é a constante de Wien, aproximadamente . -
é a temperatura do corpo negro, que neste caso é 3300 K.
Vamos calcular:
Agora, para encontrar a frequência no pico (
), usamos a relação entre velocidade da luz, frequência e comprimento de onda:
Rearranjando para encontrar
:
Onde
é a velocidade da luz (
).
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b). Queremos saber o número médio de fótons emitidos por segundo. Primeiro, precisamos relacionar a potência da lâmpada com a energia de cada fóton.
A potência
é a energia por unidade de tempo. A energia de um fóton é dada por:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ). -
é a frequência do fóton.
O número de fótons emitidos por segundo (
) é então:
Substituindo os valores:
Passo 4
Por fim, na parte c), queremos saber quantos desses fótons atingem o olho de um observador a 5 metros de distância. Para isso, usamos a Lei do Inverso do Quadrado, que nos diz que a intensidade diminui com o quadrado da distância.
Primeiro, calculamos a área da esfera que representa a propagação dos fótons a 5 metros:
A área da pupila do olho é de
. Então, a área da pupila é:
A fração de fótons que passa pela pupila é:
Então, o número de fótons que atingem o olho por segundo é:
Resposta
(a)
e
;
(b) fótons/s;
© fótons/s.
(b)
©