Um fio de comprimento 1 m e raio de 1 mm é aquecido via corrente elétrica e passa a emitir radiação térmica de 1 kW de potência. Tratando o fio como um corpo negro, calcule sua temperatura. Resposta: 1294 K .

Passo 1

Vamos resolver o problema onde temos um fio de 1 metro de comprimento e 1 mm de raio que, ao passar corrente elétrica, emite uma potência térmica de 1 kW. Queremos descobrir a temperatura desse fio tratando-o como um corpo negro, ou seja, um objeto que emite radiação térmica de forma eficiente. Para isso, vamos usar a teoria de radiação de corpos negros.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a potência emitida por um corpo negro é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann. Essa lei diz que a potência total emitida ( P) é igual a sigma A T^4, onde:
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 times 10^-8, W/m^2K^4),
  • A é a área superficial do corpo,
  • T é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Potência emitida, P = 1,kW = 1000,W
  • Comprimento do fio, L = 1,m
  • Raio do fio, r = 1,mm = 0,001,m
  • Constante de Stefan-Boltzmann, sigma = 5,67 times 10^-8,W/m^2K^4

Passo 4

Precisamos calcular a área superficial do fio. Como o fio é cilíndrico, a área superficial ( A) de um cilindro é dada por:
A = 2pi r L
Substituindo os valores:
A = 2pi times 0,001,m times 1,m = 0,00628,m^2

Passo 5

Agora, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann para encontrar a temperatura ( T):
P = sigma A T^4
Queremos isolar T, então rearranjamos a fórmula:
T = ( Psigma A )^14

Passo 6

Substituindo os valores que temos na fórmula:
T = ( 1000,W5,67 times 10^-8,W/m^2K^4 times 0,00628,m^2 )^14

Passo 7

Calculando o denominador:
5,67 times 10^-8 times 0,00628 = 3,56 times 10^-10
Então:
T = ( 10003,56 times 10^-10 )^14

Passo 8

Dividindo:
10003,56 times 10^-10 = 2,81 times 10^12

Passo 9

Agora, tirando a raiz quarta:
T = (2,81 times 10^12)^14 approx 1294,K

Resposta

A temperatura do fio é de aproximadamente 1294,K.

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