Utilizar los multiplicadores de Lagrange para maximizar f(x, y) = x^2 - y^2 sujeta a la restricción 2y - x^2 = 0 con x > 0 y > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando multiplicadores de Lagrange! A gente quer maximizar a função sujeita à restrição , com e . Para isso, vamos precisar entender como os multiplicadores de Lagrange funcionam e aplicar algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. Basicamente, quando queremos otimizar uma função com uma restrição , a gente forma a função auxiliar , onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange para o nosso problema:
Agora, precisamos achar as derivadas parciais dessa função em relação a , e e igualá-las a zero.

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Isso nos dá a equação:
Como , podemos dividir por :

Passo 5

Agora, calculamos a derivada parcial em relação a :
Substituindo :

Passo 6

Por fim, usamos a restrição para encontrar :
(Lembrando que consideramos apenas ).

Resposta

O ponto que maximiza sob a restrição dada é .

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