Utilizar los multiplicadores de Lagrange para maximizar
sujeta a la restricción
con
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando multiplicadores de Lagrange! A gente quer maximizar a função
sujeita à restrição
, com
e
. Para isso, vamos precisar entender como os multiplicadores de Lagrange funcionam e aplicar algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. Basicamente, quando queremos otimizar uma função
com uma restrição
, a gente forma a função auxiliar
, onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange para o nosso problema:
Agora, precisamos achar as derivadas parciais dessa função em relação a
,
e
e igualá-las a zero.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Isso nos dá a equação:
Como
, podemos dividir por
:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a
:
Substituindo
:
Passo 6
Por fim, usamos a restrição
para encontrar
:
(Lembrando que consideramos apenas
).
Resposta
O ponto que maximiza
sob a restrição dada é
.