Dadas as afirmações abaixo:
Três arestas quaisquer de um hexaedro (cubo) representam vetores que constituem base no R^3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está dizendo. A afirmação é: “Três arestas quaisquer de um hexaedro (cubo) representam vetores que constituem base no R^3.” Aqui, estamos falando sobre vetores que formam uma base em um espaço tridimensional. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma base, o que significa vetores serem linearmente independentes e como as arestas de um cubo se comportam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em R^3. Uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço tridimensional. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas arestas de um cubo. Um cubo tem 12 arestas, e elas estão todas alinhadas ao longo de três direções principais: x, y e z. Vamos considerar três arestas quaisquer. Se essas três arestas estiverem alinhadas em direções diferentes (uma em x, outra em y e outra em z), elas são linearmente independentes e formam uma base.

Passo 4

Porém, se escolhermos tr��s arestas que não estão alinhadas em direções diferentes, ou seja, se pelo menos duas estão na mesma direção (por exemplo, duas ao longo de x e uma ao longo de y), então essas três arestas não serão linearmente independentes. Nesse caso, elas não conseguem gerar todo o espaço R^3, pois faltaria a direção z.

Resposta

A afirmação é falsa. Nem todas as três arestas quaisquer de um cubo formam uma base em R^3, pois isso só acontece se as três arestas escolhidas estiverem em direções diferentes (x, y e z). Caso contrário, elas não são linearmente independentes e não formam uma base.

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