Dadas as afirmações abaixo:
Três arestas quaisquer de um hexaedro (cubo) representam vetores que constituem base no .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está dizendo. A afirmação é: “Três arestas quaisquer de um hexaedro (cubo) representam vetores que constituem base no .” Aqui, estamos falando sobre vetores que formam uma base em um espaço tridimensional. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma base, o que significa vetores serem linearmente independentes e como as arestas de um cubo se comportam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em . Uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço tridimensional. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas arestas de um cubo. Um cubo tem 12 arestas, e elas estão todas alinhadas ao longo de três direções principais: x, y e z. Vamos considerar três arestas quaisquer. Se essas três arestas estiverem alinhadas em direções diferentes (uma em x, outra em y e outra em z), elas são linearmente independentes e formam uma base.
Passo 4
Porém, se escolhermos tr��s arestas que não estão alinhadas em direções diferentes, ou seja, se pelo menos duas estão na mesma direção (por exemplo, duas ao longo de x e uma ao longo de y), então essas três arestas não serão linearmente independentes. Nesse caso, elas não conseguem gerar todo o espaço , pois faltaria a direção z.
Resposta
A afirmação é falsa. Nem todas as três arestas quaisquer de um cubo formam uma base em , pois isso só acontece se as três arestas escolhidas estiverem em direções diferentes (x, y e z). Caso contrário, elas não são linearmente independentes e não formam uma base.