Um comerciante quer vender caixas abertas com pedaços quadrados de papelão de 60 cm de lado. Qual deve ser o tamanho x dos quadrados que se recortam para que a caixa tenha o volume máximo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um comerciante que quer fazer caixas abertas usando papelão de 60 cm de lado. A questão é descobrir qual o tamanho dos quadradinhos que ele deve cortar nos cantos para que a caixa tenha o volume máximo. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções de volume e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como a caixa é formada. Quando cortamos quadrados de lado nos quatro cantos do papelão e dobramos as laterais, a caixa resultante terá:
  • Altura:
  • Comprimento e largura: cada (porque cortamos de cada lado)

Passo 3

Agora, vamos formular a função que representa o volume da caixa. O volume de um paralelepípedo é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, precisamos derivar a função em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, expandimos a função:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Dividindo toda a equação por 12 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

O valor de que maximiza o volume da caixa é 10 cm.

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