Um comerciante quer vender caixas abertas com pedaços quadrados de papelão de 60 cm de lado. Qual deve ser o tamanho
dos quadrados que se recortam para que a caixa tenha o volume máximo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um comerciante que quer fazer caixas abertas usando papelão de 60 cm de lado. A questão é descobrir qual o tamanho
dos quadradinhos que ele deve cortar nos cantos para que a caixa tenha o volume máximo. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções de volume e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar como a caixa é formada. Quando cortamos quadrados de lado
nos quatro cantos do papelão e dobramos as laterais, a caixa resultante terá:
- Altura:
- Comprimento e largura:
cada (porque cortamos de cada lado)
Passo 3
Agora, vamos formular a função que representa o volume da caixa. O volume
de um paralelepípedo é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, expandimos a função:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Dividindo toda a equação por 12 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
O valor de
que maximiza o volume da caixa é 10 cm.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos críticos das seguintes funçöes:
A.
A.
Utilizando a regra de LHopital, resolva:
B.
B.
Use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação
entre o intervalo
com quatro casas decimais.
Quanto vale
?