Um comerciante quer vender caixas abertas com pedaços quadrados de papelão de 60 cm de lado. Qual deve ser o tamanho x dos quadrados que se recortam para que a caixa tenha o volume máximo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um comerciante que quer fazer caixas abertas usando papelão de 60 cm de lado. A questão é descobrir qual o tamanho dos quadradinhos que ele deve cortar nos cantos para que a caixa tenha o volume máximo. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções de volume e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como a caixa é formada. Quando cortamos quadrados de lado nos quatro cantos do papelão e dobramos as laterais, a caixa resultante terá:
  • Altura:
  • Comprimento e largura: cada (porque cortamos de cada lado)

Passo 3

Agora, vamos formular a função que representa o volume da caixa. O volume de um paralelepípedo é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, precisamos derivar a função em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, expandimos a função:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Dividindo toda a equação por 12 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

O valor de que maximiza o volume da caixa é 10 cm.

Exercícios relacionados

Encontre os pontos críticos das seguintes funçöes:
A. f(x) = (2/3) x^(4/3) + 3 x^(1/3)
Utilizando a regra de LHopital, resolva:
B. lim x +infty sin (1 / x)x^-3(x+2)
Use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação x^3 - 4 x - 4 = 0 entre o intervalo (2,3) com quatro casas decimais.
Quanto vale P(X <= 1, Y <= 2) ?