Encontre os pontos críticos das seguintes funçöes:
A. f(x) = (2/3) x^(4/3) + 3 x^(1/3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar de conhecimento básico sobre derivadas e como encontrá-las.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função . Vamos derivar termo a termo usando as regras de derivação para potências.
A derivada de em relação a é .
Então, derivando cada termo:

Passo 3

Vamos simplificar as expressões:
Isso dá:

Passo 4

Agora, queremos encontrar onde ou onde não existe.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Para resolver isso, vamos multiplicar ambos os lados por (isso ajuda a eliminar os expoentes fracionários):
Simplificando:
Então:

Passo 5

Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Além disso, precisamos verificar onde a derivada não existe. Observamos que a derivada não existe quando , porque não está definido em .

Resposta

Os pontos críticos da função são:

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