Utilizando a regra de LHopital, resolva:
B. lim x +infty sin (1 / x)x^-3(x+2)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x +infty sin (1x)x^-3(x+2) usando a regra de L’Hôpital. Para isso, precisamos entender conceitos de limites, funções trigonométricas e aplicar a regra de L’Hôpital quando temos indeterminações do tipo 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador. Sabemos que x^-3(x+2) = x+2x^3. Então, o limite fica:
lim x +infty sin (1x)x+2x^3 = lim x +infty sin (1x) cdot x^3x+2

Passo 3

Analisando o comportamento das funções quando x tende ao infinito:
sin (1x) approx 1x (pois sin theta approx theta para theta pequeno)
E:
x^3x+2 approx x^3x = x^2
Portanto, o limite se aproxima de:
limx to +infty 1x cdot x^2 = limx to +infty x = +infty

Passo 4

Como o limite resultou em uma forma indeterminada do tipo inftyinfty, podemos aplicar a regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
ddx sin (1x) = cos (1x) cdot (-1x^2)
Derivada do denominador:
ddx (x^-3(x+2)) = x^-3 cdot 1 + (x+2) cdot (-3x^-4) = 1x^3 - 3(x+2)x^4
Após simplificar e aplicar L’Hôpital novamente se necessário, confirma-se que o limite tende para +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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