O cometa Halley se move em uma órbita alongada ao redor do Sol. No periélio, a distância entre o cometa e o Sol é igual a 8,75 times 10^7 km; no afélio, é igual a 5,26 times 10^9 km. Calcule o semieixo maior, a excentricidade e o período orbital. Dados: massa do Sol =1,99 times 10^30 kg e G=6,67 times 10^-11 N m^2 / kg^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a órbita do cometa Halley ao redor do Sol. A gente vai trabalhar com conceitos de Mecânica Celeste, especificamente com órbitas elípticas. Para resolver, vamos precisar das distâncias no periélio e afélio, a massa do Sol e a constante gravitacional. Nosso objetivo é calcular o semieixo maior, a excentricidade e o período orbital do cometa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são periélio e afélio. O periélio é o ponto mais próximo do Sol na órbita do cometa, e o afélio é o ponto mais distante. As distâncias dadas são:
  • Periélio ( rp): 8,75 times 10^7 km
  • Afélio ( ra): 5,26 times 10^9 km
Vamos converter essas distâncias para metros para facilitar os cálculos:
rp = 8,75 times 10^7 km times 10^3 mkm = 8,75 times 10^10 m
ra = 5,26 times 10^9 km times 10^3 mkm = 5,26 times 10^12 m

Passo 3

O semieixo maior ( a) de uma órbita elíptica é a média das distâncias máxima e mínima do centro de massa, que nesse caso é o Sol. A fórmula para calcular o semieixo maior é:
a = rp + ra2
Vamos substituir os valores:
a = 8,75 times 10^10 m + 5,26 times 10^12 m2 = 5,3475 times 10^12 m2 = 2,67375 times 10^12 m

Passo 4

Agora, vamos calcular a excentricidade ( e) da órbita, que indica o quão alongada ela é. A fórmula para a excentricidade é:
e = ra - rpra + rp
Substituindo os valores:
e = 5,26 times 10^12 m - 8,75 times 10^10 m5,26 times 10^12 m + 8,75 times 10^10 m approx 5,1725 times 10^12 m5,3475 times 10^12 m approx 0,967

Passo 5

Por último, vamos calcular o período orbital ( T) usando a terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o semieixo maior:
T = 2pi raiza^3G cdot M
Onde:
  • a é o semieixo maior em metros
  • G é a constante gravitacional: 6,67 times 10^-11 Ncdotm^2/kg^2
  • M é a massa do Sol: 1,99 times 10^30 kg
Vamos substituir os valores:
T = 2pi raiz(2,67375 times 10^12 m)^36,67 times 10^-11 Ncdotm^2/kg^2 times 1,99 times 10^30 kg
Primeiro, calculamos o numerador:
a^3 = (2,67375 times 10^12)^3 = 1,915 times 10^37 m^3
E o denominador:
G cdot M = 6,67 times 10^-11 times 1,99 times 10^30 = 1,327 times 10^20 m^3/s^2
Agora, dividimos:
a^3G cdot M = 1,915 times 10^371,327 times 10^20 approx 1,443 times 10^17 s^2
E tiramos a raiz quadrada:
raiz1,443 times 10^17 approx 1,201 times 10^8 s
Finalmente, multiplicamos por 2pi:
T = 2pi times 1,201 times 10^8 s approx 7,545 times 10^8 s
Para converter para anos:
7,545 times 10^8 s div (60 times 60 times 24 times 365,25) approx 23,9 anos

Resposta

O semieixo maior da órbita do cometa Halley é aproximadamente 2,67 times 10^12 m, a excentricidade é 0,967 e o período orbital é cerca de 23,9 anos.

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