O cometa Halley se move em uma órbita alongada ao redor do Sol. No periélio, a distância entre o cometa e o Sol é igual a ; no afélio, é igual a . Calcule o semieixo maior, a excentricidade e o período orbital. Dados: massa do Sol e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a órbita do cometa Halley ao redor do Sol. A gente vai trabalhar com conceitos de Mecânica Celeste, especificamente com órbitas elípticas. Para resolver, vamos precisar das distâncias no periélio e afélio, a massa do Sol e a constante gravitacional. Nosso objetivo é calcular o semieixo maior, a excentricidade e o período orbital do cometa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são periélio e afélio. O periélio é o ponto mais próximo do Sol na órbita do cometa, e o afélio é o ponto mais distante. As distâncias dadas são:
  • Periélio ( ):
  • Afélio ( ):
Vamos converter essas distâncias para metros para facilitar os cálculos:

Passo 3

O semieixo maior ( ) de uma órbita elíptica é a média das distâncias máxima e mínima do centro de massa, que nesse caso é o Sol. A fórmula para calcular o semieixo maior é:
Vamos substituir os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a excentricidade ( ) da órbita, que indica o quão alongada ela é. A fórmula para a excentricidade é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Por último, vamos calcular o período orbital ( ) usando a terceira lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o semieixo maior:
Onde:
  • é o semieixo maior em metros
  • é a constante gravitacional:
  • é a massa do Sol:
Vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos o numerador:
E o denominador:
Agora, dividimos:
E tiramos a raiz quadrada:
Finalmente, multiplicamos por :
Para converter para anos:

Resposta

O semieixo maior da órbita do cometa Halley é aproximadamente , a excentricidade é e o período orbital é cerca de anos.

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