Um projétil é lançado verticalmente, para cima, do polo sul da Terra, com uma velocidade inicial de 8,0 km/s. Determine a altura máxima que ele atinge, desprezando a resistência do ar.
Caso a velocidade inicial for 15 km / s, qual seria sua velocidade quando estiver muito distante da Terra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um projétil lançado verticalmente para cima a partir do Polo Sul da Terra com uma certa velocidade inicial. Precisamos descobrir qual é a altura máxima que ele atinge, desconsiderando a resistência do ar. Além disso, temos uma segunda parte: se a velocidade inicial for de 15 km/s, qual seria a velocidade do projétil quando ele estiver muito longe da Terra. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e leis da gravitação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a altura máxima que o projétil alcança. Quando ele é lançado para cima, a força da gravidade da Terra vai desacelerá-lo até que sua velocidade chegue a zero – esse é o ponto mais alto que ele atinge.

Passo 3

Para encontrar a altura máxima, podemos usar a conservação da energia. A energia inicial do projétil é a energia cinética, e na altura máxima, essa energia se transforma completamente em energia potencial gravitacional.
A energia cinética inicial ( Ek) é dada por:
Ek = 12 m v0^2
onde:
  • m é a massa do projétil
  • v0 é a velocidade inicial
A energia potencial gravitacional ( Ep) na altura máxima ( h) é:
Ep = G M mR + h
onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 , N·m²/kg²²²)
  • M é a massa da Terra ( 5,972 times 10^24 , kg)
  • R é o raio da Terra ( 6,371 times 10^6 , m)

Passo 4

Igualamos a energia cinética inicial à energia potencial na altura máxima:
12 m v0^2 = G M mR + h
Podemos cancelar a massa m dos dois lados:
12 v0^2 = G MR + h

Passo 5

Resolvemos para h:
R + h = 2 G Mv0^2
h = 2 G Mv0^2 - R

Passo 6

Agora, substituímos os valores. Mas antes, precisamos converter a velocidade inicial de km/s para m/s:
  • 8,0 km/s = 8000 m/s
  • 15 km/s = 15000 m/s
Vamos calcular para v0 = 8000 , m/s primeiro.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
h = 2 times 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^248000^2 - 6,371 times 10^6
Calculando o numerador:
2 times 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 = 7,986 times 10^14 , J·m/kg
Calculando o denominador:
8000^2 = 6,4 times 10^7 , m²/s² ²²
Então:
h = 7,986 times 10^146,4 times 10^7 - 6,371 times 10^6
h = 1,247 times 10^7 - 6,371 times 10^6
h = 6,1 times 10^6 , m

Passo 8

Agora, para a segunda parte da questão, onde a velocidade inicial é de 15 km/s (15000 m/s). Queremos saber qual será a velocidade do projétil quando ele estiver muito distante da Terra.
Usando a conservação da energia novamente, quando o projétil está muito longe, a energia potencial gravitacional tende a zero, e toda a energia cinética permanece. Então:
12 m v0^2 = 12 m vinfty^2
Onde vinfty é a velocidade final quando está muito longe.

Passo 9

Igualando as energias:
12 v0^2 = 12 vinfty^2
Cancelando os 12:
v0^2 = vinfty^2
Então:
vinfty = v0
Isso significa que se não houver resistência do ar e outras forças além da gravidade, a velocidade quando muito longe será zero, pois toda a energia cinética foi usada para superar a atração gravitacional da Terra.

Resposta

A altura máxima atingida pelo projétil lançado a 8,0 km/s é de aproximadamente 6,1 milhões de metros. Se a velocidade inicial for de 15 km/s, a velocidade do projétil quando estiver muito distante da Terra será zero.

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