Se
é compacto e
é fechado, mostre que
é fechado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a soma de dois conjuntos,
, é fechado, dado que
é compacto e
é fechado. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de análise matemática, especificamente sobre conjuntos compactos e fechados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser compacto, o que é um conjunto fechado e como a soma de conjuntos funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto compacto. Em termos simples, um conjunto
é compacto se ele é fechado e limitado. Isso significa que não tem “buracos” e não se estende para o infinito. Agora,
é um conjunto fechado, o que quer dizer que ele contém todos os seus pontos limite – nada fica “fugindo”.
Passo 3
A soma de dois conjuntos,
, é o conjunto de todos os possíveis resultados da soma de um elemento de
com um elemento de
. Formalmente:
Queremos mostrar que esse conjunto
é fechado.
Passo 4
Sabemos que a soma de uma sequência de números em
que converge deve ter seu limite também em
para que
seja fechado. Então, vamos considerar uma sequência
em
que converge para algum limite
. Precisamos provar que
pertence a
.
Passo 5
Como cada
pertence a
, podemos escrever
, onde
e
. Agora, como
é compacto, toda sequência
em
tem uma subsequência que converge para algum
, devido à propriedade de ser compacto.
Passo 6
Então, suponha que
seja uma subsequência de
que converge para
. Como
e
converge para
, podemos rearranjar para encontrar
. Sabendo que
converge para
e
converge para
, então
também deve convergir para
.
Passo 7
Já que
é fechado e
converge para
, então o limite
também pertence a
(pois conjuntos fechados contêm seus limites). Portanto, temos
e
, o que implica que
pertence a
.
Passo 8
Como toda sequência convergente em
tem seu limite também em
, concluímos que
é fechado.
Resposta
Portanto, mostramos que se
é compacto e
é fechado, então
é fechado.