Se é compacto e é fechado, mostre que é fechado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a soma de dois conjuntos, , é fechado, dado que é compacto e é fechado. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de análise matemática, especificamente sobre conjuntos compactos e fechados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser compacto, o que é um conjunto fechado e como a soma de conjuntos funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto compacto. Em termos simples, um conjunto é compacto se ele é fechado e limitado. Isso significa que não tem “buracos” e não se estende para o infinito. Agora, é um conjunto fechado, o que quer dizer que ele contém todos os seus pontos limite – nada fica “fugindo”.

Passo 3

A soma de dois conjuntos, , é o conjunto de todos os possíveis resultados da soma de um elemento de com um elemento de . Formalmente:
Queremos mostrar que esse conjunto é fechado.

Passo 4

Sabemos que a soma de uma sequência de números em que converge deve ter seu limite também em para que seja fechado. Então, vamos considerar uma sequência em que converge para algum limite . Precisamos provar que pertence a .

Passo 5

Como cada pertence a , podemos escrever , onde e . Agora, como é compacto, toda sequência em tem uma subsequência que converge para algum , devido à propriedade de ser compacto.

Passo 6

Então, suponha que seja uma subsequência de que converge para . Como e converge para , podemos rearranjar para encontrar . Sabendo que converge para e converge para , então também deve convergir para .

Passo 7

Já que é fechado e converge para , então o limite também pertence a (pois conjuntos fechados contêm seus limites). Portanto, temos e , o que implica que pertence a .

Passo 8

Como toda sequência convergente em tem seu limite também em , concluímos que é fechado.

Resposta

Portanto, mostramos que se é compacto e é fechado, então é fechado.

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Determine e .
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