In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Aqui temos um problema de valor de contorno envolvendo uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. O conteúdo está relacionado a equações diferenciais, mais especificamente às equações de Euler. Para resolver, vamos precisar determinar uma solução geral da equação diferencial dada e aplicar as condições de contorno
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
Esta é uma equação diferencial de Euler, também conhecida como equação equidimensional. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 3
Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Portanto, o polinômio característico é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Essa equação quadrática pode ser fatorada como:
Assim, a raiz é
com multiplicidade 2.
Passo 5
Como a raiz é repetida, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos supor uma solução particular da forma
. Observando o lado direito, escolhemos
.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Substituindo:
Sabemos que
, então:
Passo 11
Segunda condição:
Substituindo:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Resposta
A solução que satisfaz o problema de valor de contorno é:
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Determine
e
.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Determine
e
.
Se
é compacto e
é fechado, mostre que
é fechado.