In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Aqui temos um problema de valor de contorno envolvendo uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. O conteúdo está relacionado a equações diferenciais, mais especificamente às equações de Euler. Para resolver, vamos precisar determinar uma solução geral da equação diferencial dada e aplicar as condições de contorno e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
Esta é uma equação diferencial de Euler, também conhecida como equação equidimensional. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 3

Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
Assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Portanto, o polinômio característico é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Essa equação quadrática pode ser fatorada como:
Assim, a raiz é com multiplicidade 2.

Passo 5

Como a raiz é repetida, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos supor uma solução particular da forma . Observando o lado direito, escolhemos .

Passo 7

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Substituindo:
Sabemos que , então:

Passo 11

Segunda condição:
Substituindo:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Resposta

A solução que satisfaz o problema de valor de contorno é:

Exercícios relacionados

Determine e .
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Determine e .
Se é compacto e é fechado, mostre que é fechado.