Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos determinar o interior de
, a clausura
, o conjunto derivado
e a fronteira
do conjunto
. Aqui,
é o complemento dos números racionais, ou seja,
, que são os números irracionais. Vamos usar conceitos de topologia, que estuda propriedades dos espaços que são preservadas por deformações contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o interior de
, denotado por
. O interior de um conjunto é o maior conjunto aberto que está contido nele. Porém, sabemos que os números irracionais são densos na reta real, o que significa que entre dois irracionais sempre existe um racional e vice-versa. Isso faz com que não haja nenhum intervalo aberto totalmente contido em
.
Passo 3
Então, concluímos que o interior de
é vazio:
Passo 4
Agora, vamos determinar a clausura de
, representada por
. A clausura de um conjunto inclui todos os seus pontos limitantes. Como os irracionais são densos, qualquer número real, seja ele racional ou irracional, pode ser aproximado por irracionais. Portanto, a clausura de
é todo o conjunto dos números reais:
Passo 5
Vamos encontrar o conjunto derivado de
,
. O conjunto derivado é o conjunto de todos os pontos de acumulação de
. Novamente, como os irracionais são densos, todo ponto real é um ponto de acumulação de
. Assim, temos:
Passo 6
Por fim, vamos determinar a fronteira de
, denotada por
. A fronteira de um conjunto é a diferença entre a clausura e o interior do conjunto:
Substituindo os valores que já encontramos:
Resposta
Exercícios relacionados
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Determine
e
.
Se
é compacto e
é fechado, mostre que
é fechado.
Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
tais que
e
.