Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos determinar o interior de , a clausura , o conjunto derivado e a fronteira do conjunto . Aqui, é o complemento dos números racionais, ou seja, , que são os números irracionais. Vamos usar conceitos de topologia, que estuda propriedades dos espaços que são preservadas por deformações contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o interior de , denotado por . O interior de um conjunto é o maior conjunto aberto que está contido nele. Porém, sabemos que os números irracionais são densos na reta real, o que significa que entre dois irracionais sempre existe um racional e vice-versa. Isso faz com que não haja nenhum intervalo aberto totalmente contido em .

Passo 3

Então, concluímos que o interior de é vazio:

Passo 4

Agora, vamos determinar a clausura de , representada por . A clausura de um conjunto inclui todos os seus pontos limitantes. Como os irracionais são densos, qualquer número real, seja ele racional ou irracional, pode ser aproximado por irracionais. Portanto, a clausura de é todo o conjunto dos números reais:

Passo 5

Vamos encontrar o conjunto derivado de , . O conjunto derivado é o conjunto de todos os pontos de acumulação de . Novamente, como os irracionais são densos, todo ponto real é um ponto de acumulação de . Assim, temos:

Passo 6

Por fim, vamos determinar a fronteira de , denotada por . A fronteira de um conjunto é a diferença entre a clausura e o interior do conjunto:
Substituindo os valores que já encontramos:

Resposta

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Determine e .
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