Esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaz todas as condições dadas.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para a gente desenhar o gráfico de uma função
que atende a uma condição específica. A condição dada é que o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita (
) é igual a -2. Vamos usar conceitos de limites para resolver isso e desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Quando dizemos que
, estamos falando que, conforme
se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1 (da direita), os valores de
estão se aproximando de -2. Ou seja,
fica perto de -2 quando
está perto de 1 pela direita.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma função que satisfaça essa condição. Uma maneira simples é definir
de forma que, para
, ela se aproxime de -2 conforme
se aproxima de 1. Podemos pensar em uma função linear que se aproxima de -2. Por exemplo:
Vamos ver o que essa função faz:
- Quando
está perto de 1, é um número pequeno. - Então,
fica próximo de -2.
Passo 4
Vamos agora desenhar o gráfico dessa função. Para simplificar, vamos definir a função completa:
Para
, a função é
, que é uma reta com inclinação 1 e intercepta em -2 quando
. Para
, podemos escolher qualquer valor, já que a condição do limite está apenas para
.
Passo 5
Vamos verificar se nossa escolha atende à condição do limite:
Está certinho!
Resposta
Desenhamos uma função que, para
, segue a reta
, que se aproxima de -2 quando
se aproxima de 1 pela direita. Para
, a função pode ter qualquer comportamento. O gráfico mostra uma reta começando em
e aumentando com inclinação 1 para
.
Exercícios relacionados
Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
tais que
e
.
Se
é compacto e
é fechado, mostre que
é fechado.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado
e um conjunto limitado não-fechado
, cujos pontos são todos isolados.