Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
F1 ⊇ F2 ⊇ ... ⊇ Fn ...
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
L1 ⊃ L2 ⊃ ... ⊃ Ln ...
tais que cap F_n = vazio e cap F_n = vazio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar exemplos de duas sequências de conjuntos que diminuem sempre, mas que acabam ficando sem interseção. A primeira sequência é de conjuntos fechados e não-vazios, simbolizados por , e a segunda é de conjuntos limitados e não-vazios, representados por . A ideia é que, ao final, a interseção de todos os e de todos os seja o conjunto vazio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são conjuntos fechados e limitados, e como construir sequências que atendam a esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos criar uma sequência de conjuntos fechados não-vazios cuja interseção seja vazia. Pense em algo simples, como intervalos fechados na reta real. Por exemplo, vamos definir:
Mas espera aí, esse conjunto não é fechado porque o infinito não é um número real. Em vez disso, vamos usar intervalos fechados limitados. Uma melhor opção seria:
No entanto, isso não faz a interseção ser vazia. Para garantir que a interseção seja vazia, precisamos que os conjuntos “escapem” para o infinito. Então, vamos ajustar para:
Assim, conforme aumenta, os conjuntos estão cada vez mais à direita na reta real e não têm nenhum ponto em comum com os outros, fazendo com que a interseção de todos eles seja vazia.

Passo 3

Agora, vamos criar uma sequência de conjuntos limitados não-vazios com a mesma propriedade. Aqui, “limitados” significa que cada conjunto está contido em algum intervalo finito. Vamos usar intervalos fechados que diminuem de tamanho mas se afastam do zero para que a interseção seja vazia. Por exemplo:
À medida que aumenta, o conjunto fica cada vez menor, aproximando-se de apenas . No entanto, para que a interseção seja vazia, precisamos garantir que nem mesmo o ponto 0 esteja na interseção. Para isso, modificamos ligeiramente:
Dessa forma, conforme cresce, o limite inferior tende a zero, mas nunca inclui o zero. Assim, não há nenhum ponto que esteja presente em todos os conjuntos , fazendo com que a interseção deles seja vazia.

Resposta

Um exemplo de sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios com interseção vazia é para todo . Já um exemplo de sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios com interseção vazia é para todo .

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