Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar exemplos de duas sequências de conjuntos que diminuem sempre, mas que acabam ficando sem interseção. A primeira sequência é de conjuntos fechados e não-vazios, simbolizados por
, e a segunda é de conjuntos limitados e não-vazios, representados por
. A ideia é que, ao final, a interseção de todos os
e de todos os
seja o conjunto vazio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são conjuntos fechados e limitados, e como construir sequências que atendam a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos criar uma sequência de conjuntos fechados não-vazios cuja interseção seja vazia. Pense em algo simples, como intervalos fechados na reta real. Por exemplo, vamos definir:
Mas espera aí, esse conjunto não é fechado porque o infinito não é um número real. Em vez disso, vamos usar intervalos fechados limitados. Uma melhor opção seria:
No entanto, isso não faz a interseção ser vazia. Para garantir que a interseção seja vazia, precisamos que os conjuntos “escapem” para o infinito. Então, vamos ajustar para:
Assim, conforme
aumenta, os conjuntos estão cada vez mais à direita na reta real e não têm nenhum ponto em comum com os outros, fazendo com que a interseção de todos eles seja vazia.
Passo 3
Agora, vamos criar uma sequência de conjuntos limitados não-vazios com a mesma propriedade. Aqui, “limitados” significa que cada conjunto está contido em algum intervalo finito. Vamos usar intervalos fechados que diminuem de tamanho mas se afastam do zero para que a interseção seja vazia. Por exemplo:
À medida que
aumenta, o conjunto
fica cada vez menor, aproximando-se de apenas
. No entanto, para que a interseção seja vazia, precisamos garantir que nem mesmo o ponto 0 esteja na interseção. Para isso, modificamos ligeiramente:
Dessa forma, conforme
cresce, o limite inferior
tende a zero, mas nunca inclui o zero. Assim, não há nenhum ponto que esteja presente em todos os conjuntos
, fazendo com que a interseção deles seja vazia.
Resposta
Um exemplo de sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios com interseção vazia é
para todo
. Já um exemplo de sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios com interseção vazia é
para todo
.
Exercícios relacionados
Se
é compacto e
é fechado, mostre que
é fechado.
Determine
e
.
Esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaz todas as condições dadas.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)