Se é compacto e
mostre que é um conjunto compacto se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto é compacto, dado que é compacto e não está em . Estamos lidando com conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos compactos e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto compacto, como funções contínuas afetam a compactação e como aplicar essas ideias ao conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser compacto. Em termos simples, um conjunto é compacto se ele for fechado (contiver todos os seus limites) e limitado (não se estende ao infinito). No contexto da topologia, um conjunto compacto tem a propriedade de que toda sequência nele contém uma subsequência que converge para um ponto dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função que relaciona os elementos de para formar . A função que estamos usando aqui é . Para que possamos usar as propriedades de conjuntos compactos, precisamos que essa função seja contínua. Felizmente, a divisão é uma operaç��o contínua em intervalos onde o denominador não é zero. Como , nunca será zero, garantindo que é contínua em todo o domínio .

Passo 4

Sabendo que é contínua e que é compacto, podemos usar um resultado importante da topologia: a imagem de um conjunto compacto por uma função contínua também é compacta. Ou seja, se temos um conjunto compacto e uma função contínua , então é compacto.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, como é compacto, o produto cartesiano também é compacto (produto de conjuntos compactos é compacto). A função sendo contínua implica que a imagem , que é exatamente o conjunto , também é compacto.

Resposta

Portanto, concluímos que é um conjunto compacto quando é compacto e não pertence a .

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Determine e .
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Se são compactos, então é compacto.