Se
é compacto e
mostre que
é um conjunto compacto se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é compacto, dado que
é compacto e
não está em
. Estamos lidando com conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos compactos e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto compacto, como funções contínuas afetam a compactação e como aplicar essas ideias ao conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser compacto. Em termos simples, um conjunto é compacto se ele for fechado (contiver todos os seus limites) e limitado (não se estende ao infinito). No contexto da topologia, um conjunto compacto tem a propriedade de que toda sequência nele contém uma subsequência que converge para um ponto dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função que relaciona os elementos de
para formar
. A função que estamos usando aqui é
. Para que possamos usar as propriedades de conjuntos compactos, precisamos que essa função seja contínua. Felizmente, a divisão é uma operaç��o contínua em intervalos onde o denominador não é zero. Como
,
nunca será zero, garantindo que
é contínua em todo o domínio
.
Passo 4
Sabendo que
é contínua e que
é compacto, podemos usar um resultado importante da topologia: a imagem de um conjunto compacto por uma função contínua também é compacta. Ou seja, se temos um conjunto compacto
e uma função contínua
, então
é compacto.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, como
é compacto, o produto cartesiano
também é compacto (produto de conjuntos compactos é compacto). A função
sendo contínua implica que a imagem
, que é exatamente o conjunto
, também é compacto.
Resposta
Portanto, concluímos que
é um conjunto compacto quando
é compacto e
não pertence a
.
Exercícios relacionados
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Determine
e
.
Sejam
conjuntos disjuntos e não-vazios, com
compacto e
fechado. Mostre que existem
tais que
Se
são compactos, então
é compacto.