Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas, que é uma parte da matemática que estuda somas de termos que continuam pra sempre. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona uma série geométrica e usar o teste da razão, que ajuda a determinar se a série para por aí ou se ela “vai pro infinito”.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que precisamos analisar:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para ver se conseguimos identificar o tipo de série que temos aqui.

Passo 3

Vamos simplificar a fração:
Assim, a série fica:
Isso é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Na nossa série, a razão é . Para uma série geométrica, se o valor de , a série converge; se , ela diverge. Aqui, é menor que 1, então isso indica que a série deve convergir.

Passo 5

Para confirmar, podemos usar o Teste da Razão, que verifica o limite do quociente entre termos consecutivos:
Como o limite é menor que 1, a série converge segundo o teste.

Resposta

A série converge.

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Determine e .
Determine e .
Se é compacto e
mostre que é um conjunto compacto se .
Sejam conjuntos disjuntos e não-vazios, com compacto e fechado. Mostre que existem tais que