Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas, que é uma parte da matemática que estuda somas de termos que continuam pra sempre. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona uma série geométrica e usar o teste da razão, que ajuda a determinar se a série para por aí ou se ela “vai pro infinito”.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série que precisamos analisar:
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para ver se conseguimos identificar o tipo de série que temos aqui.
Passo 3
Vamos simplificar a fração:
Assim, a série fica:
Isso é uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 4
Na nossa série, a razão é . Para uma série geométrica, se o valor de , a série converge; se , ela diverge. Aqui, é menor que 1, então isso indica que a série deve convergir.
Passo 5
Para confirmar, podemos usar o Teste da Razão, que verifica o limite do quociente entre termos consecutivos:
Como o limite é menor que 1, a série converge segundo o teste.