Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty 4^n3^2 n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas, que é uma parte da matemática que estuda somas de termos que continuam pra sempre. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona uma série geométrica e usar o teste da razão, que ajuda a determinar se a série para por aí ou se ela “vai pro infinito”.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que precisamos analisar:
sumn=1^infty 4^n3^2n-1
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para ver se conseguimos identificar o tipo de série que temos aqui.

Passo 3

Vamos simplificar a fração:
4^n3^2n-1 = 4^n3^2n cdot 3^-1 = 3 cdot (49)^n
Assim, a série fica:
3 cdot sumn=1^infty (49)^n
Isso é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=1^infty ar^n
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 4

Na nossa série, a razão é . Para uma série geométrica, se o valor de , a série converge; se , ela diverge. Aqui, é menor que 1, então isso indica que a série deve convergir.

Passo 5

Para confirmar, podemos usar o Teste da Razão, que verifica o limite do quociente entre termos consecutivos:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | 4^n+1/3^2(n+1)-14^n/3^2n-1 | = 49 < 1
Como o limite é menor que 1, a série converge segundo o teste.

Resposta

A série converge.

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