Sejam
conjuntos disjuntos e não-vazios, com
compacto e
fechado. Mostre que existem
tais que
Passo 1
Beleza! Vamos lá: temos dois conjuntos,
e
, que são disjuntos e não vazios. O conjunto
é compacto e
é fechado. Nosso objetivo é mostrar que existe um par de pontos
e
tal que a distância entre eles,
, é menor ou igual à distância entre quaisquer outros pontos de
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia como compactidão, conjuntos fechados e propriedades de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser compacto e outro ser fechado. Um conjunto compacto, no contexto da topologia, é aquele que é fechado e limitado. Isso garante, por exemplo, que toda sequência dentro dele tem uma subsequência que converge para um ponto dentro do próprio conjunto. Já um conjunto fechado é aquele que contém todos os seus pontos de limite, ou seja, se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge, o limite também pertence ao conjunto.
Passo 3
Agora, vamos pensar na função distância entre dois pontos. Define-se a função
por
. Essa função é contínua, o que significa que pequenas variações em
e
resultam em pequenas variações na distância
.
Passo 4
Como
é compacto e
é fechado, o produto
também é compacto (pois o produto de compactos é compacto) e a função distância
é contínua. Pela propriedade das funções contínuas em conjuntos compactos, sabemos que
atinge seu mínimo nesse espaço. Ou seja, existe um par
tal que
é menor ou igual a
para todos
.
Passo 5
Então, esse par
que encontramos é exatamente o que queríamos mostrar. Ele garante que a distância entre
e
é a menor possível entre quaisquer pares de pontos nos conjuntos
e
.
Resposta
Existe um par de pontos
e
tal que
para todos
e
.
Exercícios relacionados
Se
é compacto e
mostre que
é um conjunto compacto se
.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Se
são compactos, então
é compacto.
Verifique se a função
é derivável em
.