Sejam X, Y conjuntos disjuntos e não-vazios, com X compacto e Y fechado. Mostre que existem x0 em X e y0 em Y tais que
|x0 - y0| <= |x - y| ; para todo x em X, y em Y

Passo 1

Beleza! Vamos lá: temos dois conjuntos, e , que são disjuntos e não vazios. O conjunto é compacto e é fechado. Nosso objetivo é mostrar que existe um par de pontos e tal que a distância entre eles, , é menor ou igual à distância entre quaisquer outros pontos de e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de topologia como compactidão, conjuntos fechados e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser compacto e outro ser fechado. Um conjunto compacto, no contexto da topologia, é aquele que é fechado e limitado. Isso garante, por exemplo, que toda sequência dentro dele tem uma subsequência que converge para um ponto dentro do próprio conjunto. Já um conjunto fechado é aquele que contém todos os seus pontos de limite, ou seja, se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge, o limite também pertence ao conjunto.

Passo 3

Agora, vamos pensar na função distância entre dois pontos. Define-se a função por . Essa função é contínua, o que significa que pequenas variações em e resultam em pequenas variações na distância .

Passo 4

Como é compacto e é fechado, o produto também é compacto (pois o produto de compactos é compacto) e a função distância é contínua. Pela propriedade das funções contínuas em conjuntos compactos, sabemos que atinge seu mínimo nesse espaço. Ou seja, existe um par tal que é menor ou igual a para todos .

Passo 5

Então, esse par que encontramos é exatamente o que queríamos mostrar. Ele garante que a distância entre e é a menor possível entre quaisquer pares de pontos nos conjuntos e .

Resposta

Existe um par de pontos e tal que para todos e .

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