Se
são compactos, então
é compacto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se
são conjuntos compactos, então a união deles
também é compacta. Vamos trabalhar com o conceito de compacidade e mostrar por que essa união também é compacta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser compacto. Em termos simples, um conjunto é compacto se toda cobertura aberta desse conjunto tem uma subcobertura finita. Ou seja, se cobrirmos o conjunto com um monte de abertos, dá para encontrar um número finito desses abertos que ainda cobre todo o conjunto.
Matematicamente, dizemos que
é compacto se, para toda família de conjuntos abertos
tal que
, existe um número finito de
que também cobre
.
Passo 3
Agora, precisamos aplicar essa definição à união
. Sabemos que cada
é compacto. Vamos considerar uma cobertura aberta para a união desses conjuntos e mostrar que conseguimos extrair uma subcobertura finita.
Passo 4
Seja
uma família de abertos tal que
. Como cada
é compacto, para cada
, existe uma subcobertura finita que cobre
.
Passo 5
Já que temos uma subcobertura finita para cada
, podemos juntar todas essas subcoberturas finitas. Como são apenas
conjuntos compactos, a união dessas subcoberturas finitas será uma subcobertura finita para
.
Passo 6
Portanto, conseguimos mostrar que toda cobertura aberta da união
tem uma subcobertura finita, o que significa que a união é compacta.
Resposta
Assim, concluímos que a união de um número finito de conjuntos compactos
também é compacta.
Exercícios relacionados
Sejam
conjuntos disjuntos e não-vazios, com
compacto e
fechado. Mostre que existem
tais que
Se
é compacto e
mostre que
é um conjunto compacto se
.
Verifique se a função
é derivável em
.
Determine
e
.