Se são compactos, então é compacto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se são conjuntos compactos, então a união deles também é compacta. Vamos trabalhar com o conceito de compacidade e mostrar por que essa união também é compacta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser compacto. Em termos simples, um conjunto é compacto se toda cobertura aberta desse conjunto tem uma subcobertura finita. Ou seja, se cobrirmos o conjunto com um monte de abertos, dá para encontrar um número finito desses abertos que ainda cobre todo o conjunto.
Matematicamente, dizemos que é compacto se, para toda família de conjuntos abertos tal que , existe um número finito de que também cobre .

Passo 3

Agora, precisamos aplicar essa definição à união . Sabemos que cada é compacto. Vamos considerar uma cobertura aberta para a união desses conjuntos e mostrar que conseguimos extrair uma subcobertura finita.

Passo 4

Seja uma família de abertos tal que . Como cada é compacto, para cada , existe uma subcobertura finita que cobre .

Passo 5

Já que temos uma subcobertura finita para cada , podemos juntar todas essas subcoberturas finitas. Como são apenas conjuntos compactos, a união dessas subcoberturas finitas será uma subcobertura finita para .

Passo 6

Portanto, conseguimos mostrar que toda cobertura aberta da união tem uma subcobertura finita, o que significa que a união é compacta.

Resposta

Assim, concluímos que a união de um número finito de conjuntos compactos também é compacta.

Exercícios relacionados

Sejam conjuntos disjuntos e não-vazios, com compacto e fechado. Mostre que existem tais que
Se é compacto e
mostre que é um conjunto compacto se .
Verifique se a função é derivável em .
Determine e .