Determine
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos o conjunto
e precisamos determinar quatro coisas:
- Interior de
( ) - Fecho de
( ) - Conjunto derivado de
( ) - Fronteira de
( )
Para resolver isso, vamos usar conceitos da topologia, que estuda as propriedades espaciais que são preservadas através de deformações contínuas. Vamos precisar entender o que são interior, fecho, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.
Passo 2
Encontrando o Interior de
(
)
O interior de um conjunto é o maior conjunto aberto que está contido nele. No caso de
, estamos lidando com pontos isolados na reta real.
Como cada elemento de
é isolado (não há intervalos contínuos dentro de
), não existe nenhum conjunto aberto que esteja completamente dentro de
. Portanto, o interior de
é vazio.
Passo 3
Encontrando o Fecho de
(
)
O fecho de um conjunto inclui todos os pontos do conjunto mais seus pontos de acumulação (ou seja, limites). Para
, observamos que:
- Conforme
aumenta, se aproxima de 0. - 0 não está em
, mas é um ponto de acumulação.
Portanto, o fecho de
é
junto com o ponto 0:
Passo 4
Encontrando o Conjunto Derivado de
(
)
O conjunto derivado de
é o conjunto de todos os pontos de acumulação de
. Como vimos, conforme
aumenta,
se aproxima de 0. Portanto, 0 é o único ponto de acumulação de
.
Assim,
Passo 5
Encontrando a Fronteira de
(
)
A fronteira de um conjunto é a diferença entre o seu fecho e o seu interior. Já determinamos que:
Portanto,