Determine e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos o conjunto e precisamos determinar quatro coisas:
  1. Interior de ( )
  2. Fecho de ( )
  3. Conjunto derivado de ( )
  4. Fronteira de ( )
Para resolver isso, vamos usar conceitos da topologia, que estuda as propriedades espaciais que são preservadas através de deformações contínuas. Vamos precisar entender o que são interior, fecho, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.

Passo 2

Encontrando o Interior de ( )
O interior de um conjunto é o maior conjunto aberto que está contido nele. No caso de , estamos lidando com pontos isolados na reta real.
Como cada elemento de é isolado (não há intervalos contínuos dentro de ), não existe nenhum conjunto aberto que esteja completamente dentro de . Portanto, o interior de é vazio.

Passo 3

Encontrando o Fecho de ( )
O fecho de um conjunto inclui todos os pontos do conjunto mais seus pontos de acumulação (ou seja, limites). Para , observamos que:
  • Conforme aumenta, se aproxima de 0.
  • 0 não está em , mas é um ponto de acumulação.
Portanto, o fecho de é junto com o ponto 0:

Passo 4

Encontrando o Conjunto Derivado de ( )
O conjunto derivado de é o conjunto de todos os pontos de acumulação de . Como vimos, conforme aumenta, se aproxima de 0. Portanto, 0 é o único ponto de acumulação de .
Assim,

Passo 5

Encontrando a Fronteira de ( )
A fronteira de um conjunto é a diferença entre o seu fecho e o seu interior. Já determinamos que:
Portanto,

Resposta

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Determine e .
Calcule .
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Se é compacto e
mostre que é um conjunto compacto se .