Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos o conjunto e precisamos determinar quatro coisas:
Interior de ()
Fecho de ()
Conjunto derivado de ()
Fronteira de ()
Para resolver isso, vamos usar conceitos da topologia, que estuda as propriedades espaciais que são preservadas através de deformações contínuas. Vamos precisar entender o que são interior, fecho, conjunto derivado e fronteira de um conjunto.
Passo 2
Encontrando o Interior de ()
O interior de um conjunto é o maior conjunto aberto que está contido nele. No caso de , estamos lidando com pontos isolados na reta real.
Como cada elemento de é isolado (não há intervalos contínuos dentro de ), não existe nenhum conjunto aberto que esteja completamente dentro de . Portanto, o interior de é vazio.
Passo 3
Encontrando o Fecho de ()
O fecho de um conjunto inclui todos os pontos do conjunto mais seus pontos de acumulação (ou seja, limites). Para , observamos que:
Conforme aumenta, se aproxima de 0.
0 não está em , mas é um ponto de acumulação.
Portanto, o fecho de é junto com o ponto 0:
Passo 4
Encontrando o Conjunto Derivado de ()
O conjunto derivado de é o conjunto de todos os pontos de acumulação de . Como vimos, conforme aumenta, se aproxima de 0. Portanto, 0 é o único ponto de acumulação de .
Assim,
Passo 5
Encontrando a Fronteira de ()
A fronteira de um conjunto é a diferença entre o seu fecho e o seu interior. Já determinamos que: