Uma companhia ferroviária cobra por km , para transportar um vagão até uma distância de 200 km , cobrando ainda R por cada km que exceda a 200 . Além disso, essa mesma companhia cobra uma taxa de serviço de por vagão, independentemente da distância a percorrer. Determine a função que representa o custo para transportar um vagão a uma distância de e esboce seu gráfico. Essa função é contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função que mostre quanto custa transportar um vagão de trem para uma distância qualquer km. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções lineares e entender como os custos se comportam dependendo da distância. Vamos precisar considerar dois casos: quando a distância é até 200 km e quando ultrapassa os 200 km. Também tem uma taxa fixa que sempre entra no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as distâncias até 200 km. A companhia cobra R$10 por cada km. Então, se a gente quer saber o custo só dessa parte, é só multiplicar o preço por km pela distância. Matemáticamente, ficaria assim:
Aqui, representa o custo para distâncias até 200 km.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas distâncias que passam dos 200 km. Até os primeiros 200 km, o custo continua sendo R$10 por km. Mas o que exceder esses 200 km custa R$8 por km. Então, o custo total nesse caso é a soma do custo dos primeiros 200 km mais o custo dos km que passam de 200. Vamos escrever isso:
Simplificando:

Passo 4

Não podemos esquecer da taxa fixa de serviço de R$1.000 que sempre entra no custo, independente da distância. Então, precisamos adicionar esse valor ao custo total que calculamos nos passos anteriores. Vamos colocar isso na nossa função:
Para :
Para :
Simplificando mais:

Passo 5

Então, juntando tudo, nossa função de custo fica assim:

Passo 6

Agora, vamos verificar se essa função é contínua em . Para ser contínua, o valor que a função atinge quando chega a 200 pela primeira parte deve ser igual ao valor quando passa de 200.
Calculando para :
E para na segunda parte:
Como os dois valores são iguais, a função é contínua em .

Resposta

A função que representa o custo é:
Essa função é contínua em .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico e encontre os pontos de descontinuidade da função , definida por:
Uma fábrica é capaz de produzir 15.000 unidades de um certo produto, em um turno de 8 horas de trabalho. Para cada turno de trabalho, sabe-se que existe um custo fixo de R , relativo ao consumo de energia elétrica. Supondo-se que, por unidade produzida, o custo variável, dado o gasto com matéria prima e salários, é de , determine a função que representa o custo total para a fabricação de unidades e esboce seu gráfico. A função encontrada é contínua para ?
Seja a função cujo gráfico encontra-se esboçado abaixo.
(e) é contínua no ponto ?
Explique por que os limites abaixo não existem.
(b)