Uma companhia ferroviária cobra por km , para transportar um vagão até uma distância de 200 km , cobrando ainda R por cada km que exceda a 200 . Além disso, essa mesma companhia cobra uma taxa de serviço de por vagão, independentemente da distância a percorrer. Determine a função que representa o custo para transportar um vagão a uma distância de e esboce seu gráfico. Essa função é contínua em ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função que mostre quanto custa transportar um vagão de trem para uma distância qualquer km. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções lineares e entender como os custos se comportam dependendo da distância. Vamos precisar considerar dois casos: quando a distância é até 200 km e quando ultrapassa os 200 km. Também tem uma taxa fixa que sempre entra no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as distâncias até 200 km. A companhia cobra R$10 por cada km. Então, se a gente quer saber o custo só dessa parte, é só multiplicar o preço por km pela distância. Matemáticamente, ficaria assim:
Aqui, representa o custo para distâncias até 200 km.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas distâncias que passam dos 200 km. Até os primeiros 200 km, o custo continua sendo R$10 por km. Mas o que exceder esses 200 km custa R$8 por km. Então, o custo total nesse caso é a soma do custo dos primeiros 200 km mais o custo dos km que passam de 200. Vamos escrever isso:
Simplificando:
Passo 4
Não podemos esquecer da taxa fixa de serviço de R$1.000 que sempre entra no custo, independente da distância. Então, precisamos adicionar esse valor ao custo total que calculamos nos passos anteriores. Vamos colocar isso na nossa função:
Para :
Para :
Simplificando mais:
Passo 5
Então, juntando tudo, nossa função de custo fica assim:
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa função é contínua em . Para ser contínua, o valor que a função atinge quando chega a 200 pela primeira parte deve ser igual ao valor quando passa de 200.
Calculando para :
E para na segunda parte:
Como os dois valores são iguais, a função é contínua em .