Explique por que os limites abaixo não existem.
(b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que o limite
não existe. Vamos usar o conceito de limites da matemática, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função à medida que a variável se aproxima de um certo valor. Para resolver isso, vamos analisar o que acontece com a expressão
quando
se aproxima de 1, tanto pelo lado direito quanto pelo lado esquerdo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
se aproximar de 1 pela direita, ou seja,
. Isso significa que
está chegando perto de 1 por valores maiores que 1, como 1.1, 1.01, 1.001, e assim por diante. Nessa situação,
será um número positivo muito pequeno, porque estamos subtraindo 1 de um número ligeiramente maior que 1. Então,
será um número positivo dividido por um número positivo muito pequeno, o que resulta em um valor muito grande. Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja,
. Isso significa que
está chegando perto de 1 por valores menores que 1, como 0.9, 0.99, 0.999, e assim por diante. Nessa situação,
será um número negativo muito pequeno, porque estamos subtraindo 1 de um número ligeiramente menor que 1. Então,
será um número positivo dividido por um número negativo muito pequeno, o que resulta em um valor muito negativo. Portanto,
.
Passo 4
Agora que analisamos os dois lados, vemos que:
- Quando
se aproxima de 1 pela direita ( ), o limite tende a . - Quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ), o limite tende a .
Para que o limite
exista, os limites laterais (pela direita e pela esquerda) precisariam ser iguais. Mas aqui, um vai para
e o outro para
, que são valores diferentes.
Resposta
O limite
não existe porque, ao se aproximar de 1 pela direita, a função tende a
, e ao se aproximar pela esquerda, tende a
. Como os limites laterais são diferentes, o limite global não existe.
Exercícios relacionados
Seja
a função cujo gráfico encontra-se esboçado abaixo.
(e) é contínua no ponto
?
(e)
Uma companhia ferroviária cobra
por km , para transportar um vagão até uma distância de 200 km , cobrando ainda R
por cada km que exceda a 200 . Além disso, essa mesma companhia cobra uma taxa de serviço de
por vagão, independentemente da distância a percorrer. Determine a função que representa o custo para transportar um vagão a uma distância de
e esboce seu gráfico. Essa função é contínua em
?
Explique por que os limites abaixo não existem.
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Explique por que os limites abaixo não existem.
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