A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre o(s) ponto(s) de inflexão de
e estude sua concavidade;
Passo 1
Vamos resumir o problema: a empresa IME LTDA tem uma função de lucro total dada por
, onde
é a quantidade produzida. Precisamos encontrar os pontos de inflexão dessa função e estudar a concavidade dela.
Para resolver isso, vamos precisar de derivadas de primeira e segunda ordem (cálculo diferencial) para identificar os pontos de inflexão e entender a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
para identificar os pontos de inflexão. Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, indicando uma mudança na concavidade da função.
Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Segunda derivada:
Calculando:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos resolver
para encontrar os possíveis pontos de inflexão.
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se
é realmente um ponto de inflexão, ou seja, se a segunda derivada muda de sinal nesse ponto.
Vamos testar valores próximos a
:
- Para
(por exemplo, ):
- Para
(por exemplo, ):
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva quando
passa de 4, isso indica que há um ponto de inflexão em
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função:
-
Para
: → a função é côncava para baixo. -
Para
: → a função é côncava para cima.
Resposta
A função
possui um ponto de inflexão em
. A concavidade da função muda de côncava para baixo para côncava para cima nesse ponto.
Exercícios relacionados
Construa a equação da reta tangente ao gráfico de
que passa em
.
Calcule: a derivada de
;
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre o domínio de
e sua interseção com os eixos;
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