A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função , onde representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre o(s) ponto(s) de inflexão de e estude sua concavidade;

Passo 1

Vamos resumir o problema: a empresa IME LTDA tem uma função de lucro total dada por , onde é a quantidade produzida. Precisamos encontrar os pontos de inflexão dessa função e estudar a concavidade dela.
Para resolver isso, vamos precisar de derivadas de primeira e segunda ordem (cálculo diferencial) para identificar os pontos de inflexão e entender a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de para identificar os pontos de inflexão. Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, indicando uma mudança na concavidade da função.
Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada:
Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Segunda derivada:
Calculando:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos resolver para encontrar os possíveis pontos de inflexão.
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se é realmente um ponto de inflexão, ou seja, se a segunda derivada muda de sinal nesse ponto.
Vamos testar valores próximos a :
  • Para (por exemplo, ):
(negativo)
  • Para (por exemplo, ):
(positivo)
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva quando passa de 4, isso indica que há um ponto de inflexão em .

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função:
  • Para : → a função é côncava para baixo.
  • Para : → a função é côncava para cima.

Resposta

A função possui um ponto de inflexão em . A concavidade da função muda de côncava para baixo para côncava para cima nesse ponto.

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