Uma fábrica produz e vende caixas. Seu chefe quer que você construa uma caixa aberta em cima (sem tampa) com um volume de
. Ele precisa que o comprimento da base seja o dobro de sua largura para que caiba determinado produto. O material para fazer a base da caixa custa
por metro quadrado, enquanto que o material para fazer as laterais custa
por metro quadrado. Qual a medida da largura da base para se obter um custo mínimo na confecção dessa caixa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre construir uma caixa sem tampa com volume de
. A base da caixa tem comprimento que é o dobro da largura. Queremos encontrar a largura que minimize o custo dos materiais. Vamos usar noções de geometria para volume e otimização de funções para minimizar o custo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
a largura da base da caixa (em metros). - Então, o comprimento da base será
. - A altura da caixa, vamos chamar de
.
Passo 3
Sabendo que o volume da caixa é
, podemos escrever a equação do volume:
Passo 4
Vamos isolar
na equação do volume para expressá-la em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área dos materiais necessários:
- Base: Área = comprimento
largura = . - Laterais:
- Duas laterais com área
cada. - Duas laterais com área
cada.
- Duas laterais com área
Então, a área total das laterais é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o custo total:
- Custo da base:
reais. - Custo das laterais:
reais.
Então, o custo total
é:
Passo 7
Para encontrar a largura
que minimiza o custo, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 8
Resolvendo a equação
:
Resposta
A largura da base que minimiza o custo é de
.
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, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre o domínio de
e sua interseção com os eixos;
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre o(s) ponto(s) de inflexão de
e estude sua concavidade;
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre os pontos críticos de
;
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Considere o esboço do gráfico feito no item anterior. Se restringirmos o domínio de
ao intervalo
, qual a melhor quantidade a ser produzida?