Uma fábrica produz e vende caixas. Seu chefe quer que você construa uma caixa aberta em cima (sem tampa) com um volume de . Ele precisa que o comprimento da base seja o dobro de sua largura para que caiba determinado produto. O material para fazer a base da caixa custa por metro quadrado, enquanto que o material para fazer as laterais custa por metro quadrado. Qual a medida da largura da base para se obter um custo mínimo na confecção dessa caixa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre construir uma caixa sem tampa com volume de . A base da caixa tem comprimento que é o dobro da largura. Queremos encontrar a largura que minimize o custo dos materiais. Vamos usar noções de geometria para volume e otimização de funções para minimizar o custo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja a largura da base da caixa (em metros).
  • Então, o comprimento da base será .
  • A altura da caixa, vamos chamar de .

Passo 3

Sabendo que o volume da caixa é , podemos escrever a equação do volume:

Passo 4

Vamos isolar na equação do volume para expressá-la em termos de :

Passo 5

Agora, vamos calcular a área dos materiais necessários:
  • Base: Área = comprimento largura = .
  • Laterais:
    • Duas laterais com área cada.
    • Duas laterais com área cada.
Então, a área total das laterais é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o custo total:
  • Custo da base: reais.
  • Custo das laterais: reais.
Então, o custo total é:

Passo 7

Para encontrar a largura que minimiza o custo, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 8

Resolvendo a equação :

Resposta

A largura da base que minimiza o custo é de .

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