A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função f(x) = 2 x (x - 6)², onde x representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre os pontos críticos de f;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a empresa IME LTDA fabrica um produto e o lucro total delas é dado pela função . O que a gente precisa encontrar são os pontos críticos dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente de Derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero ou não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Para isso, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .
Então, seja:
Calculando as derivadas:
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos fatorar em comum:

Passo 4

Os pontos críticos são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é:
Vamos igualar a derivada a zero:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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