A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Considere o esboço do gráfico feito no item anterior. Se restringirmos o domínio de
ao intervalo
, qual a melhor quantidade a ser produzida?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que produz um produto e tem um lucro total dado pela função
, onde
é a quantidade produzida. A gente precisa descobrir qual é a melhor quantidade para produzir dentro do intervalo de 0 a 6 unidades para maximizar o lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que “melhor quantidade” aqui significa o valor de
que faz o lucro
ser o maior possível dentro desse intervalo. Para encontrar isso, a gente vai procurar os pontos onde a função atinge valores máximos. Isso geralmente acontece nos pontos onde a derivada da função é zero ou nos extremos do intervalo.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar as taxas de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar
:
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os pontos críticos onde
:
Isso acontece quando:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Vamos analisar esses pontos junto com os extremos do intervalo [0,6]. Calculamos o lucro
em
,
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Comparando os valores, vemos que o lucro máximo dentro do intervalo é 64, que ocorre quando
.
Resposta
A melhor quantidade a ser produzida é 2 unidades, que maximiza o lucro total em 64.
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, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Encontre os pontos críticos de
;
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A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
e encontre os pontos de máximo e/ou mínimo relativos de
A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função
, onde
representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Esboce o gráfico de
, indicando os pontos em que intercepta o eixo
,
, os pontos críticos e os pontos de inflexão.