A companhia IME LTDA produz um determinado produto e o vende com um lucro total dado pela função f(x) = 2 x (x - 6)², onde x representa a quantidade produzida. Responda as questões abaixo: Considere o esboço do gráfico feito no item anterior. Se restringirmos o domínio de f ao intervalo [0, 6], qual a melhor quantidade a ser produzida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que produz um produto e tem um lucro total dado pela função , onde é a quantidade produzida. A gente precisa descobrir qual é a melhor quantidade para produzir dentro do intervalo de 0 a 6 unidades para maximizar o lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que “melhor quantidade” aqui significa o valor de que faz o lucro ser o maior possível dentro desse intervalo. Para encontrar isso, a gente vai procurar os pontos onde a função atinge valores máximos. Isso geralmente acontece nos pontos onde a derivada da função é zero ou nos extremos do intervalo.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar as taxas de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar :
Aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os pontos críticos onde :
Isso acontece quando:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Vamos analisar esses pontos junto com os extremos do intervalo [0,6]. Calculamos o lucro em , e :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Comparando os valores, vemos que o lucro máximo dentro do intervalo é 64, que ocorre quando .

Resposta

A melhor quantidade a ser produzida é 2 unidades, que maximiza o lucro total em 64.

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