Uma companhia pretende instalar um equipamento de controle de fumaça no exaustor de um motor a gasolina. O departamento local de controle de poluição concordou em pagar à firma uma importância global para atender ao custo inicial do equipamento e sua manutenção durante os dez anos de sua vida útil. Ao cabo de dez anos, o equipamento, que custou inicialmente
, já não tem valor algum. As estimativas dos custos anuais de manutenção são:
Ano | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
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500 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 | 250 | 275 | 300 |
À taxa de juro de
ao ano, quanto o órgão municipal deveria pagar à companhia agora para cobrir o custo do equipamento e sua manutenção durante dez anos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir quanto a prefeitura deve pagar agora para cobrir o custo inicial de um equipamento de controle de fumaça e a manutenção desse equipamento ao longo de dez anos. A matéria que a gente vai usar aqui é Valor Presente, que é uma ideia de quanto uma quantia de dinheiro que a gente vai gastar ou receber no futuro vale hoje, levando em conta uma taxa de juros. Para resolver, vamos precisar calcular o valor presente do custo inicial de $10.000 e somar com o valor presente de cada custo de manutenção anual.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor presente do custo inicial do equipamento, que é de $10.000. Como esse pagamento é feito agora, não precisa ser descontado. Então, o valor presente desse custo é simplesmente $10.000.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor presente de cada custo de manutenção anual. A taxa de juros é de 6% ao ano. Para cada ano, o valor presente é calculado usando a fórmula:
Onde:
-
é o valor presente, -
é o valor futuro (custo de manutenção), -
é a taxa de juros (0,06), -
é o número de anos.
Vamos calcular para cada ano:
Passo 4
Ano 1: $500
Ano 2: $100
Ano 3: $125
Passo 5
Ano 4: $150
Ano 5: $175
Passo 6
Ano 6: $200
Ano 7: $225
Passo 7
Ano 8: $250
Ano 9: $275
Passo 8
Ano 10: $300
Passo 9
Agora, vamos somar todos os valores presentes que calculamos:
Passo 10
Por fim, para encontrar o total que a prefeitura deve pagar agora, somamos o valor presente do custo inicial com o valor presente total das manutenções:
Resposta
A prefeitura deveria pagar aproximadamente $11.582,36 agora para cobrir o custo do equipamento e sua manutenção durante dez anos.