Uma companhia pretende instalar um equipamento de controle de fumaça no exaustor de um motor a gasolina. O departamento local de controle de poluição concordou em pagar à firma uma importância global para atender ao custo inicial do equipamento e sua manutenção durante os dez anos de sua vida útil. Ao cabo de dez anos, o equipamento, que custou inicialmente , já não tem valor algum. As estimativas dos custos anuais de manutenção são:
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
500 100 125 150 175 200 225 250 275 300
À taxa de juro de ao ano, quanto o órgão municipal deveria pagar à companhia agora para cobrir o custo do equipamento e sua manutenção durante dez anos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir quanto a prefeitura deve pagar agora para cobrir o custo inicial de um equipamento de controle de fumaça e a manutenção desse equipamento ao longo de dez anos. A matéria que a gente vai usar aqui é Valor Presente, que é uma ideia de quanto uma quantia de dinheiro que a gente vai gastar ou receber no futuro vale hoje, levando em conta uma taxa de juros. Para resolver, vamos precisar calcular o valor presente do custo inicial de $10.000 e somar com o valor presente de cada custo de manutenção anual.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor presente do custo inicial do equipamento, que é de $10.000. Como esse pagamento é feito agora, não precisa ser descontado. Então, o valor presente desse custo é simplesmente $10.000.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor presente de cada custo de manutenção anual. A taxa de juros é de 6% ao ano. Para cada ano, o valor presente é calculado usando a fórmula:
Onde:
  • é o valor presente,
  • é o valor futuro (custo de manutenção),
  • é a taxa de juros (0,06),
  • é o número de anos.
Vamos calcular para cada ano:

Passo 4

Ano 1: $500
Ano 2: $100
Ano 3: $125

Passo 5

Ano 4: $150
Ano 5: $175

Passo 6

Ano 6: $200
Ano 7: $225

Passo 7

Ano 8: $250
Ano 9: $275

Passo 8

Ano 10: $300

Passo 9

Agora, vamos somar todos os valores presentes que calculamos:
çã
çã

Passo 10

Por fim, para encontrar o total que a prefeitura deve pagar agora, somamos o valor presente do custo inicial com o valor presente total das manutenções:
çã

Resposta

A prefeitura deveria pagar aproximadamente $11.582,36 agora para cobrir o custo do equipamento e sua manutenção durante dez anos.

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