Uma companhia pretende instalar um equipamento de controle de fumaça no exaustor de um motor a gasolina. O departamento local de controle de poluição concordou em pagar à firma uma importância global para atender ao custo inicial do equipamento e sua manutenção durante os dez anos de sua vida útil. Ao cabo de dez anos, o equipamento, que custou inicialmente , já não tem valor algum. As estimativas dos custos anuais de manutenção são:
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
, já não tem valor algum As estimativas dos custos anuais de manutenção são: | Ano | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 500 100 125 150 175 200 225 250 275 300
À taxa de juro de ao ano, quanto o órgão municipal deveria pagar à companhia agora para cobrir o custo do equipamento e sua manutenção durante dez anos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir quanto a prefeitura deve pagar agora para cobrir o custo inicial de um equipamento de controle de fumaça e a manutenção desse equipamento ao longo de dez anos. A matéria que a gente vai usar aqui é Valor Presente, que é uma ideia de quanto uma quantia de dinheiro que a gente vai gastar ou receber no futuro vale hoje, levando em conta uma taxa de juros. Para resolver, vamos precisar calcular o valor presente do custo inicial de $10.000 e somar com o valor presente de cada custo de manutenção anual.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor presente do custo inicial do equipamento, que é de $10.000. Como esse pagamento é feito agora, não precisa ser descontado. Então, o valor presente desse custo é simplesmente $10.000.
10.000 Como esse pagamento é feito agora, não precisa ser descontado Então, o valor presente desse custo é simp<=smente

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor presente de cada custo de manutenção anual. A taxa de juros é de 6% ao ano. Para cada ano, o valor presente é calculado usando a fórmula:
VP = FV(1 + i)^n
Onde:
  • é o valor presente,
  • é o valor futuro (custo de manutenção),
  • é a taxa de juros (0,06),
  • é o número de anos.
Vamos calcular para cada ano:

Passo 4

Ano 1: $500
500** [ VP1 = 500(1 + 0,06)^1 = 5001,06 approx
Ano 2: $100
100** [ VP2 = 100(1 + 0,06)^2 = 1001,1236 approx
Ano 3: $125
125** [ VP3 = 125(1 + 0,06)^3 = 1251,1910 approx

Passo 5

Ano 4: $150
150** [ VP4 = 150(1 + 0,06)^4 = 1501,2625 approx
Ano 5: $175
175** [ VP5 = 175(1 + 0,06)^5 = 1751,3382 approx

Passo 6

Ano 6: $200
200** [ VP6 = 200(1 + 0,06)^6 = 2001,4185 approx
Ano 7: $225
225** [ VP7 = 225(1 + 0,06)^7 = 2251,5036 approx

Passo 7

Ano 8: $250
250** [ VP8 = 250(1 + 0,06)^8 = 2501,5938 approx
Ano 9: $275
275** [ VP9 = 275(1 + 0,06)^9 = 2751,6895 approx

Passo 8

Ano 10: $300
300** [ VP10 = 300(1 + 0,06)^10 = 3001,7908 approx

Passo 9

Agora, vamos somar todos os valores presentes que calculamos:
VPtotal manutenção = VP1 + VP2 + VP3 + VP4 + VP5 + VP6 + VP7 + VP8 + VP9 + VP10 çã
VPtotal manutenção approx 471,70 + 89,00 + 105,00 + 118,75 + 130,93 + 141,00 + 149,34 + 156,88 + 162,58 + 167,73 approx $1.582,36 çã

Passo 10

Por fim, para encontrar o total que a prefeitura deve pagar agora, somamos o valor presente do custo inicial com o valor presente total das manutenções:
VPtotal = VPinicial + VPtotal manutenção = 10.000 + 1.582,36 approx $11.582,36 çã

Resposta

A prefeitura deveria pagar aproximadamente $11.582,36 agora para cobrir o custo do equipamento e sua manutenção durante dez anos.

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