Os membros do conselho municipal de uma pequena cidade decidiram pela reconstrução e reforço da barragem que protege a cidade contra um rio próximo. O engenheiro da prefeitura estima em
o custo da obra ao final do primeiro ano, e que, em anos subsequentes, o custo anual dos reparos terá uma redução de
por ano, caindo para
no segundo ano,
no terceiro ano e assim por diante. O conselho deseja saber qual é o custo presente equivalente aos primeiros cinco anos de trabalho de manutenção, tomando-se a taxa de juro de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o custo da manutenção de uma barragem ao longo de cinco anos. A ideia é calcular o custo presente equivalente desses custos futuros, considerando uma taxa de juros de 4%. Isso envolve conceitos de matemática financeira, especificamente o valor presente. Vamos precisar calcular o valor presente de cada ano de manutenção e somar tudo no final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os custos de cada ano:
- 1º ano: $85.000
- 2º ano: $75.000
- 3º ano: $65.000
- 4º ano: $55.000
- 5º ano: $45.000
Passo 3
Agora, precisamos calcular o valor presente de cada um desses custos. A fórmula do valor presente é:
Onde:
-
é o valor presente -
é o valor futuro -
é a taxa de juros (nesse caso, 4% ou 0,04) -
é o número de períodos (anos)
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula para cada ano:
- 1º ano ($85.000):
- 2º ano ($75.000):
- 3º ano ($65.000):
- 4º ano ($55.000):
- 5º ano ($45.000):
Passo 5
Agora, vamos somar todos esses valores presentes para encontrar o custo presente equivalente total:
Resposta
O custo presente equivalente aos primeiros cinco anos de manutenção é aproximadamente $292.765,31.
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, já não tem valor algum. As estimativas dos custos anuais de manutenção são:
Ano | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
500 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 | 250 | 275 | 300 |
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ao ano, quanto o órgão municipal deveria pagar à companhia agora para cobrir o custo do equipamento e sua manutenção durante dez anos?
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