Os membros do conselho municipal de uma pequena cidade decidiram pela reconstrução e reforço da barragem que protege a cidade contra um rio próximo. O engenheiro da prefeitura estima em \$ o custo da obra ao final do primeiro ano, e que, em anos subsequentes, o custo anual dos reparos terá uma redução de o custo da obra ao final do primeiro ano, e que, em anos subsequentes, o custo anual dos reparos terá uma redução de por ano, caindo para 10.000 no segundo ano, \$ no terceiro ano e assim por diante. O conselho deseja saber qual é o custo presente equivalente aos primeiros cinco anos de trabalho de manutenção, tomando-se a taxa de juro de no segundo ano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o custo da manutenção de uma barragem ao longo de cinco anos. A ideia é calcular o custo presente equivalente desses custos futuros, considerando uma taxa de juros de 4%. Isso envolve conceitos de matemática financeira, especificamente o valor presente. Vamos precisar calcular o valor presente de cada ano de manutenção e somar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os custos de cada ano:
  • 1º ano: $85.000
  • 2º ano: $75.000
  • 3º ano: $65.000
  • 4º ano: $55.000
  • 5º ano: $45.000

Passo 3

Agora, precisamos calcular o valor presente de cada um desses custos. A fórmula do valor presente é:
Onde:
  • é o valor presente
  • é o valor futuro
  • é a taxa de juros (nesse caso, 4% ou 0,04)
  • é o número de períodos (anos)

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula para cada ano:
  1. 1º ano ($85.000):
  1. 2º ano ($75.000):
  1. 3º ano ($65.000):
  1. 4º ano ($55.000):
  1. 5º ano ($45.000):

Passo 5

Agora, vamos somar todos esses valores presentes para encontrar o custo presente equivalente total:

Resposta

O custo presente equivalente aos primeiros cinco anos de manutenção é aproximadamente $292.765,31.

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