As companhias aéreas aceitam uma caixa se o comprimento + largura + altura
158 cm . Se
estiver fixo, mostre que o volume máximo (
é
. Para demonstrar isso, mostre que o produto
é máximo quando
. Quais são as medidas da caixa com o maior volume?
Passo 1
Vamos lá! Você tem um problema sobre otimização de volume de uma caixa para companhias aéreas. O enunciado diz que a soma do comprimento (
), largura (
) e altura (
) da caixa deve ser menor que 158 cm. Com a altura (
) fixada, precisamos encontrar o volume máximo da caixa e mostrar que esse volume é dado por
. Para isso, vamos provar que o produto
é máximo quando
. No final, vamos descobrir quais são as medidas da caixa que proporcionam o maior volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre as dimensões da caixa e o volume. O volume (
) de uma caixa é calculado multiplicando-se comprimento, largura e altura:
Mas, conforme o enunciado, a soma dessas dimensões deve ser menor que 158 cm:
Como a altura (
) está fixa, podemos expressar o comprimento (
) em termos de
e
:
Substituindo
na fórmula do volume:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é encontrar o valor de
que maximiza esse volume. Vamos focar na parte que envolve
, que é
. Para facilitar, devemos maximizar essa expressão.
Vamos chamar essa expressão de
:
Isso é uma função quadrática em termos de
, e sabemos que funções quadráticas têm um ponto máximo quando a variável é igual a:
Reescrevendo
:
Aqui,
e
. Aplicando a fórmula do vértice para encontrar o
que maximiza
:
Então, o valor de
que maximiza o produto
é:
Passo 4
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar a expressão do volume máximo. Substituindo
na expressão do volume:
Simplificando dentro dos parênteses:
Portanto, o volume máximo fica:
Resposta
As medidas da caixa que proporcionam o maior volume são:
- Largura (
): cm - Comprimento (
): cm - Altura (
): Conforme fixada
Portanto, a caixa ideal é quadrada em comprimento e largura, com cada uma medindo
cm, e a altura sendo
cm.