As companhias aéreas aceitam uma caixa se o comprimento + largura + altura 158 cm . Se estiver fixo, mostre que o volume máximo ( é . Para demonstrar isso, mostre que o produto é máximo quando . Quais são as medidas da caixa com o maior volume?

Passo 1

Vamos lá! Você tem um problema sobre otimização de volume de uma caixa para companhias aéreas. O enunciado diz que a soma do comprimento ( ), largura ( ) e altura ( ) da caixa deve ser menor que 158 cm. Com a altura ( ) fixada, precisamos encontrar o volume máximo da caixa e mostrar que esse volume é dado por . Para isso, vamos provar que o produto é máximo quando . No final, vamos descobrir quais são as medidas da caixa que proporcionam o maior volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre as dimensões da caixa e o volume. O volume ( ) de uma caixa é calculado multiplicando-se comprimento, largura e altura:
Mas, conforme o enunciado, a soma dessas dimensões deve ser menor que 158 cm:
Como a altura ( ) está fixa, podemos expressar o comprimento ( ) em termos de e :
Substituindo na fórmula do volume:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar o valor de que maximiza esse volume. Vamos focar na parte que envolve , que é . Para facilitar, devemos maximizar essa expressão.
Vamos chamar essa expressão de :
Isso é uma função quadrática em termos de , e sabemos que funções quadráticas têm um ponto máximo quando a variável é igual a:
Reescrevendo :
Aqui, e . Aplicando a fórmula do vértice para encontrar o que maximiza :
Então, o valor de que maximiza o produto é:

Passo 4

Agora que temos o valor de , podemos encontrar a expressão do volume máximo. Substituindo na expressão do volume:
Simplificando dentro dos parênteses:
Portanto, o volume máximo fica:

Resposta

As medidas da caixa que proporcionam o maior volume são:
  • Largura ( ): cm
  • Comprimento ( ): cm
  • Altura ( ): Conforme fixada
Portanto, a caixa ideal é quadrada em comprimento e largura, com cada uma medindo cm, e a altura sendo cm.

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