Um tanque de água tem a forma de um cone reto com o vértice para baixo. Sua altura é de 3 metros e o raio da base é de 4,5 metros. A água vaza do fundo a uma taxa constante de 0,03 metros cúbicos por segundo. Água é despejada no tanque a uma taxa constante de metros cúbicos por segundo. Calcule de modo que o nível da água suba a uma taxa de 1,2 metros por segundo no instante em que a água estiver com 60 centímetros de profundidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o tanque de água que tem a forma de um cone. O que a gente precisa saber aqui é sobre derivadas relacionadas a volumes e taxas de variação. Vamos precisar entender como o volume de um cone muda conforme o nível da água sobe e como as taxas de entrada e saída de água afetam isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cone é dado por:
Onde é o raio da base e é a altura.

Passo 3

Como o tanque é um cone reto com vértice para baixo, a relação entre o raio e a altura da água é proporcional. Sabemos que a altura total do tanque é 3 metros e o raio da base é 4,5 metros. Então:

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação ao tempo para encontrar como o volume está mudando:

Passo 6

A taxa de variação do volume é a diferença entre a água entrando e a saindo:

Passo 7

Igualando as duas expressões para :

Passo 8

Sabemos que no instante considerado, a profundidade metros e metros por segundo. Substituindo:

Passo 9

Finalmente, isolando :
ú

Resposta

A taxa é aproximadamente metros cúbicos por segundo.

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Mostre que .