Um tanque de água tem a forma de um cone reto com o vértice para baixo. Sua altura é de 3 metros e o raio da base é de 4,5 metros. A água vaza do fundo a uma taxa constante de 0,03 metros cúbicos por segundo. Água é despejada no tanque a uma taxa constante de
metros cúbicos por segundo. Calcule
de modo que o nível da água suba a uma taxa de 1,2 metros por segundo no instante em que a água estiver com 60 centímetros de profundidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o tanque de água que tem a forma de um cone. O que a gente precisa saber aqui é sobre derivadas relacionadas a volumes e taxas de variação. Vamos precisar entender como o volume de um cone muda conforme o nível da água sobe e como as taxas de entrada e saída de água afetam isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de um cone é dado por:
Onde
é o raio da base e
é a altura.
Passo 3
Como o tanque é um cone reto com vértice para baixo, a relação entre o raio
e a altura
da água é proporcional. Sabemos que a altura total do tanque é 3 metros e o raio da base é 4,5 metros. Então:
Passo 4
Substituindo
na fórmula do volume:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação ao tempo
para encontrar como o volume está mudando:
Passo 6
A taxa de variação do volume
é a diferença entre a água entrando e a saindo:
Passo 7
Igualando as duas expressões para
:
Passo 8
Sabemos que no instante considerado, a profundidade
metros e
metros por segundo. Substituindo:
Passo 9
Finalmente, isolando
:
Resposta
A taxa
é aproximadamente
metros cúbicos por segundo.