Você está envolvido em um projeto de pesquisa que envolve trabalhar com uma espécie de animal de laboratório. Se
é o peso (em quilogramas) desse animal
semanas após o nascimento, então o crescimento de um animal saudável pode ser modelado pela equação diferencial:
Suponha que você seja responsável por um animal que pesa 5 kg uma semana após o nascimento. O que o modelo nos diz sobre a taxa de crescimento do animal quando ele tem uma semana de idade? Use a reta tangente no ponto
para fazer uma estimativa do peso do animal 8 dias após o nascimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o crescimento de um animal de laboratório ao longo do tempo. A gente tem uma equação que descreve como o peso do animal muda com o tempo, especificamente de uma semana em diante. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, mais precisamente de equações diferenciais, e também usar a reta tangente para fazer uma estimativa do peso do animal após 8 dias.
Passo 2
Primeiro, vamos resumir o que a equação nos diz. A equação diferencial dada é:
Aqui,
representa o peso do animal em quilogramas após
semanas do nascimento. Isso significa que a taxa de variação do peso em relação ao tempo depende do peso atual do animal.
Passo 3
Agora, queremos saber qual é a taxa de crescimento do animal quando ele tem exatamente uma semana de idade. Sabemos que
kg. Vamos usar a equação diferencial para encontrar
:
Então, a taxa de crescimento do animal nessa semana é de 2 kg por semana.
Passo 4
O próximo passo é usar a reta tangente no ponto
para estimar o peso do animal 8 dias após o nascimento. Primeiro, precisamos entender que 8 dias é um pouco mais que uma semana. Como estamos trabalhando com semanas, vamos converter 8 dias para semanas:
Então, queremos estimar
.
Passo 5
A reta tangente nos dá uma aproximação linear do valor da função perto do ponto de tangência. A fórmula da reta tangente é:
Onde
semana e
kg. Substituindo os valores:
Resposta
Então, usando a reta tangente no ponto
, a estimativa para o peso do animal 8 dias após o nascimento é de aproximadamente 5,28 kg.