Mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o ínfimo de
é igual à soma dos ínfimos de
e
. Aqui,
representa o conjunto de todas as somas possíveis onde um elemento vem de
e outro de
. Para resolver isso, precisamos conhecer o conceito de ínfimo (ou mínimo) de um conjunto e como ele se comporta sob operações como a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o ínfimo. O ínfimo de um conjunto
, denotado por
, é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de
. Ou seja, é o menor limite inferior do conjunto.
Passo 3
Agora, consideremos os conjuntos
e
e seus ínfimos
e
. Queremos analisar o conjunto
e descobrir qual é o seu ínfimo.
Passo 4
Primeiro, vamos mostrar que
é um limite inferior para
. Isso significa que para qualquer
e
, temos:
Somando essas duas desigualdades:
Portanto,
é menor ou igual a qualquer elemento de
, ou seja, é um limite inferior de
.
Passo 5
Em seguida, precisamos mostrar que
é o maior desses limites inferiores, ou seja, é de fato o ínfimo de
. Para isso, consideramos qualquer número maior que
e mostramos que ele não pode ser um limite inferior melhor.
Como
é o ínfimo de
, para qualquer
, existe um elemento
tal que:
Da mesma forma, como
é o ínfimo de
, existe um elemento
tal que:
Somando essas duas desigualdades:
Isso mostra que podemos encontrar elementos de
arbitrariamente próximos a
, ou seja,
é o menor limite inferior possível para
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
As companhias aéreas aceitam uma caixa se o comprimento + largura + altura
158 cm . Se
estiver fixo, mostre que o volume máximo (
é
. Para demonstrar isso, mostre que o produto
é máximo quando
. Quais são as medidas da caixa com o maior volume?
Seja
e
. Determine a série de Fourier da função
.
Mostre que a soma de duas funções limitadas
é uma função limitada.