Mostre que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o ínfimo de é igual à soma dos ínfimos de e . Aqui, representa o conjunto de todas as somas possíveis onde um elemento vem de e outro de . Para resolver isso, precisamos conhecer o conceito de ínfimo (ou mínimo) de um conjunto e como ele se comporta sob operações como a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o ínfimo. O ínfimo de um conjunto , denotado por , é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de . Ou seja, é o menor limite inferior do conjunto.

Passo 3

Agora, consideremos os conjuntos e e seus ínfimos e . Queremos analisar o conjunto e descobrir qual é o seu ínfimo.

Passo 4

Primeiro, vamos mostrar que é um limite inferior para . Isso significa que para qualquer e , temos:
Somando essas duas desigualdades:
Portanto, é menor ou igual a qualquer elemento de , ou seja, é um limite inferior de .

Passo 5

Em seguida, precisamos mostrar que é o maior desses limites inferiores, ou seja, é de fato o ínfimo de . Para isso, consideramos qualquer número maior que e mostramos que ele não pode ser um limite inferior melhor.
Como é o ínfimo de , para qualquer , existe um elemento tal que:
Da mesma forma, como é o ínfimo de , existe um elemento tal que:
Somando essas duas desigualdades:
Isso mostra que podemos encontrar elementos de arbitrariamente próximos a , ou seja, é o menor limite inferior possível para .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Mostre que .
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