Comparando áreas, mostre que para n in N com n ≥ 2, temos que
1/2 + 1/3 + ... + 1/n < ln n < 1 + 1/2 + ... + 1/(n-1)
(Você pode usar um argumento geométrico sem precisar usar indução.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que comparar duas somas de frações com o logaritmo natural de . O conteúdo envolvido aqui é o de séries e integrais, especificamente relacionando a soma harmônica com o logaritmo. Para resolver, vamos usar argumentos geométricos, ou seja, comparar áreas de retângulos e curvas.

Passo 2

Vamos começar analisando a soma . Essa soma pode ser representada como a área de retângulos com largura 1 e alturas para de 2 a .

Passo 3

Agora, considere a função . O logaritmo natural de , , pode ser interpretado como a área sob a curva desde até . Isso é dado pela integral:

Passo 4

Vamos comparar a soma com a integral. Cada termo é maior que a área sob a curva de a , porque está decrescendo. Então, a soma é maior que .

Passo 5

Para a outra desigualdade, observamos a soma . Aqui, cada termo é menor que a área sob a curva de a . Assim, essa soma é menor que .

Resposta

Portanto, para todo com ,

Exercícios relacionados