Comparando áreas, mostre que para
com
, temos que
(Você pode usar um argumento geométrico sem precisar usar indução.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que comparar duas somas de frações com o logaritmo natural de
. O conteúdo envolvido aqui é o de séries e integrais, especificamente relacionando a soma harmônica com o logaritmo. Para resolver, vamos usar argumentos geométricos, ou seja, comparar áreas de retângulos e curvas.
Passo 2
Vamos começar analisando a soma
. Essa soma pode ser representada como a área de retângulos com largura 1 e alturas
para
de 2 a
.
Passo 3
Agora, considere a função
. O logaritmo natural de
,
, pode ser interpretado como a área sob a curva
desde
até
. Isso é dado pela integral:
Passo 4
Vamos comparar a soma
com a integral. Cada termo
é maior que a área sob a curva
de
a
, porque
está decrescendo. Então, a soma é maior que
.
Passo 5
Para a outra desigualdade, observamos a soma
. Aqui, cada termo
é menor que a área sob a curva
de
a
. Assim, essa soma é menor que
.
Resposta
Portanto, para todo
com
,