Determine: lim x -infty x^2+x+1(x+1)^3-x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o limite quando tende a menos infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com limites no infinito e funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar o denominador e analisar os termos de maior grau no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 . Para isso, vamos expandir (x + 1)^3 - x^3 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - x^3 = 3x^2 + 3x + 1 . Lembrando da fórmula do cubo da soma:
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, nossa expressão original fica:
x^2 + x + 13x^2 + 3x + 1
Para calcular o limite quando tende a menos infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, pois eles dominam o comportamento da função para valores muito grandes de .

Passo 4

No numerador, o termo de maior grau é x^2/x^2 + x/x^2 + 1/x^23x^2/x^2 + 3x/x^2 + 1/x^2 = 1 + 1x + 1x^23 + 3x + 1x^2 , e no denominador é . Podemos então dividir todos os termos pelo termo de maior grau :

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando limx to -infty 1x = 0 e limx to -infty 1x^2 = 0 tende a menos infinito. Sabemos que:
1 + 0 + 03 + 0 + 0 = 13
Portanto, a expressão se simplifica para:

Resposta

O limite é .

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