Determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o limite quando tende a menos infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com limites no infinito e funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar o denominador e analisar os termos de maior grau no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para isso, vamos expandir . Lembrando da fórmula do cubo da soma:
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, nossa expressão original fica:
Para calcular o limite quando tende a menos infinito, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, pois eles dominam o comportamento da função para valores muito grandes de .

Passo 4

No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é . Podemos então dividir todos os termos pelo termo de maior grau :

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando tende a menos infinito. Sabemos que:
Portanto, a expressão se simplifica para:

Resposta

O limite é .

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Determine:
Determine:
Considere os pontos no plano . Usando o retângulo e o trapézio , mostre que . Em seguida encontre a reta tangente ao gráfico de para um valor de positivo e que é paralela a reta secante , e use a reta encontrada para mostrar que .
Comparando áreas, mostre que para com , temos que
(Você pode usar um argumento geométrico sem precisar usar indução.)