Mostre que para todo
e todo
com
vale que
derivando ambas as expressões que aparecem na igualdade.
Passo 1
Vamos analisar o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que para todo
positivo e qualquer número natural
maior ou igual a 1, a igualdade
é verdadeira. Para isso, vamos usar derivadas, então precisamos lembrar como derivar funções logarítmicas e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a expressão do lado esquerdo,
. Usamos a regra da cadeia para derivar logaritmos. A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão do lado direito,
. Aqui,
é uma constante, então podemos tirá-lo para fora da derivada. A derivada de
é
. Assim:
Resposta
Como as derivadas de ambos os lados são iguais a
, concluímos que
é válida para todo
e todo
com
.
Exercícios relacionados
Determine:
Comparando áreas, mostre que para
com
, temos que
(Você pode usar um argumento geométrico sem precisar usar indução.)
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
.
O gráfico da função
possui assíntotas horizontais? Se possui, quais são elas?