Mostre que para todo x em R+* e todo n in N com n ≥ 1 vale que ln(x^n) = n ln(x) derivando ambas as expressões que aparecem na igualdade.

Passo 1

Vamos analisar o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que para todo positivo e qualquer número natural maior ou igual a 1, a igualdade é verdadeira. Para isso, vamos usar derivadas, então precisamos lembrar como derivar funções logarítmicas e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a expressão do lado esquerdo, . Usamos a regra da cadeia para derivar logaritmos. A derivada de em relação a é , onde . Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão do lado direito, . Aqui, é uma constante, então podemos tirá-lo para fora da derivada. A derivada de é . Assim:

Resposta

Como as derivadas de ambos os lados são iguais a , concluímos que é válida para todo e todo com .

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