Determine: lim x 1 / 3 9 x^2-13 x^2+2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especialmente quando substituímos o valor e obtemos uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar substituir o valor de e, se necessário, fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 9 (13)^2 - 13 (13)^2 + 2 (13) - 1 = 9 cdot 19 - 13 cdot 19 + 23 - 1 = 1 - 113 + 23 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Como vimos, ao substituir, obtemos a forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x - 1)(3x + 1) . Isso parece uma diferença de quadrados, que tem a fórmula . Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 3x^2 + 3x - x - 1 = 3x(x + 1) - 1(x + 1) = (3x - 1)(x + 1) . Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, reescrevemos o denominador:
Portanto, o denominador fatorado é .

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos simplificar a expressão:
(3x - 1)(3x + 1)(3x - 1)(x + 1) = 3x + 1x + 1, onde x neq 13
Com essa simplificação, eliminamos o fator comum , que causava a indeterminação.

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo lim x 13 3x + 1x + 1 = 3 cdot 13 + 113 + 1 = 1 + 143 = 243 = 2 times 34 = 32 na expressão simplificada:

Resposta

O limite solicitado é .

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