Considere os pontos no plano . Usando o retângulo e o trapézio , mostre que . Em seguida encontre a reta tangente ao gráfico de para um valor de positivo e que é paralela a reta secante , e use a reta encontrada para mostrar que .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos cinco pontos no plano: , , , e . O objetivo é usar o retângulo e o trapézio para mostrar que . Depois, precisamos encontrar a reta tangente ao gráfico de que é paralela à reta secante e usar essa reta para mostrar que . Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos em geometria analítica e cálculo, especificamente em cálculo de áreas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do retângulo e a do trapézio . O retângulo tem base e altura . Calculando:
Áâ
Sabendo que (de a ) e (de a ):
Áâ
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do trapézio . A fórmula da área do trapézio é:
Áé
Onde e são as bases e é a altura. As bases são e , e a altura entre elas é (de a ):
Áé
Passo 4
Sabemos que a soma das áreas do retângulo e do trapézio dá uma estimativa para a integral de de a , que é . Então:
Isso mostra a primeira parte do exercício: .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de que é paralela à reta secante . Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta .
Os pontos e têm inclinação:
Passo 6
A reta tangente a tem inclinação dada pela derivada . Calculando:
Queremos que essa inclinação seja igual a :
Resolvendo para :
Passo 7
Agora, encontramos o ponto de tangência . Usando a equação da reta tangente:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Para usar essa reta e mostrar que , vamos avaliar a reta tangente no ponto :
Sabemos que está entre e , e usando a reta tangente, podemos melhorar essa estimativa para: