Considere os pontos no plano A(1,0), B(2,0), C(2,1/2), D(1,1), E(1,1/2). Usando o retângulo A B C E e o trapézio A B C D, mostre que 1/2 < ln(2) < 1. Em seguida encontre a reta tangente ao gráfico de f(x)=1/x para um valor de x positivo e que é paralela a reta secante C D, e use a reta encontrada para mostrar que 0,66 < ln(2).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos cinco pontos no plano: , , , e . O objetivo é usar o retângulo e o trapézio para mostrar que . Depois, precisamos encontrar a reta tangente ao gráfico de que é paralela à reta secante e usar essa reta para mostrar que . Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos em geometria analítica e cálculo, especificamente em cálculo de áreas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do retângulo e a do trapézio . O retângulo tem base e altura . Calculando:
Áâ
Sabendo que (de a ) e (de a ):
Áâ

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do trapézio . A fórmula da área do trapézio é:
Áé
Onde e são as bases e é a altura. As bases são e , e a altura entre elas é (de a ):
Áé

Passo 4

Sabemos que a soma das áreas do retângulo e do trapézio dá uma estimativa para a integral de de a , que é . Então:
Isso mostra a primeira parte do exercício: .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de que é paralela à reta secante . Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta .
Os pontos e têm inclinação:

Passo 6

A reta tangente a tem inclinação dada pela derivada . Calculando:
Queremos que essa inclinação seja igual a :
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, encontramos o ponto de tangência . Usando a equação da reta tangente:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 8

Para usar essa reta e mostrar que , vamos avaliar a reta tangente no ponto :
Sabemos que está entre e , e usando a reta tangente, podemos melhorar essa estimativa para:

Resposta

Assim, mostramos que e .

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