Compare as curvas representadas pelas parametrizações. Em que elas diferem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para comparar duas curvas que são definidas por parametrizações diferentes e identificar como elas se diferenciam. Aqui, estamos trabalhando com parametrizações de curvas no plano, usando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos analisar cada parametrização separadamente e depois compará-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, parametrizar uma curva significa descrevê-la usando uma ou mais variáveis, geralmente representadas por . Isso nos permite traçar a curva variando dentro de um intervalo específico.

Passo 3

Vamos olhar para a primeira parametrização:
Aqui, tanto quanto são funções trigonométricas de . Sabemos que a equação representa uma circunferência de raio 1 no plano. Portanto, essa parametrização descreve uma circunferência completa, começando quando até .

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parametrização:
Aqui, as funções trigonométricas têm um argumento multiplicado por 3. Isso significa que, à medida que varia de 0 a , o ângulo varia de 0 a . A equação também representa uma circunferência de raio 1, mas o fator 3 no argumento faz com que a curva seja percorrida três vezes durante o intervalo de .

Passo 5

Comparando as duas parametrizações:
  • Primeira parametrização ( , ): Descreve uma única circunferência completa à medida que varia de 0 a .
  • Segunda parametrização ( , ): Também descreve uma circunferência de raio 1, mas essa circunferência é percorrida três vezes no mesmo intervalo de de 0 a . Isso ocorre porque o fator 3 faz com que o ângulo gire três vezes mais rápido.

Resposta

As duas parametrizações representam a mesma circunferência de raio 1, porém a primeira percorre a curva uma vez enquanto a segunda a percorre três vezes no intervalo de de 0 a .

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Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(J)
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.
Considere a curva parametrizada por .
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función . El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
En el punto ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud?