Compare as curvas representadas pelas parametrizações. Em que elas diferem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para comparar duas curvas que são definidas por parametrizações diferentes e identificar como elas se diferenciam. Aqui, estamos trabalhando com parametrizações de curvas no plano, usando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos analisar cada parametrização separadamente e depois compará-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização. Basicamente, parametrizar uma curva significa descrevê-la usando uma ou mais variáveis, geralmente representadas por
. Isso nos permite traçar a curva variando
dentro de um intervalo específico.
Passo 3
Vamos olhar para a primeira parametrização:
Aqui, tanto
quanto
são funções trigonométricas de
. Sabemos que a equação
representa uma circunferência de raio 1 no plano. Portanto, essa parametrização descreve uma circunferência completa, começando quando
até
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda parametrização:
Aqui, as funções trigonométricas têm um argumento multiplicado por 3. Isso significa que, à medida que
varia de 0 a
, o ângulo
varia de 0 a
. A equação
também representa uma circunferência de raio 1, mas o fator 3 no argumento faz com que a curva seja percorrida três vezes durante o intervalo de
.
Passo 5
Comparando as duas parametrizações:
-
Primeira parametrização (
, ): Descreve uma única circunferência completa à medida que varia de 0 a . -
Segunda parametrização (
, ): Também descreve uma circunferência de raio 1, mas essa circunferência é percorrida três vezes no mesmo intervalo de de 0 a . Isso ocorre porque o fator 3 faz com que o ângulo gire três vezes mais rápido.
Resposta
As duas parametrizações representam a mesma circunferência de raio 1, porém a primeira percorre a curva uma vez enquanto a segunda a percorre três vezes no intervalo de
de 0 a
.
Exercícios relacionados
Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(J)
(J)
Encontre o comprimento exato das curvas:
.
Considere a curva parametrizada por
.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función
. El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
En el punto ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud?
En el punto